6.2.1 向量的加法运算

6.2.1向量的加法运算例1如图6.2-5，已知向量，，求作向量．作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，.则．作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，.以，邻边作，连接，则．例2长江两岸之间没有大桥地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）解：（1）如图6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.（2）在中，，，于是.因为，所以利用计算工具可得.因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°.练习1.如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．【答案】见解析【解析】【分析】将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.【详解】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.2.当向量满足什么条件时，（或）？【答案】反向【解析】【分析】当反向时，对与的大小进行讨论.【详解】当反向且时，；当反向且时，，所以，当反向时，（或）．【点睛】本题考查向量共线时的方向、模的大小关系，求解时注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若要取等号则需共线.3.根据图示填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）________．【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】在图形中寻找三角形回路，两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接.【详解】因为两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接，所以；；；．故答案为：；；；.【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.4.如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）（1）．（）（2）．（）（3）．（）【答案】①.×②.√③.×【解析】【分析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；【详解】对（1），因为，故（1）错误；对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；对（3），，故（3）错误.故答案为：(1)×；(2)√；(3)×【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．【解析】【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度.【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．设E为渡口A在对岸对应的点，则，．在中，∵，∴．∴E与D重合，．∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小.变式练习题6.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒【小问1详解】因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．【小问2详解】因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．【小问3详解】因为与是一对相反向量，所以．7.在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？【答案】渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.【解析】【分析】画图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.由向量加法的平行四边形法则，可知四边形为平行四边形，在中，求解，即可.【详解】如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.因为，所以四边形为平行四边形.在中，，，，所以，即渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量的模，属于中档题.8.请用平行四边形法则作出．【答案】答案见解析【解析】【分析】三个向量用平行四边形法则求和，则先求和其中两个，再用和向量与第三个向量求和﹒【详解】解：在平面内任取一点，作．如图，以为邻边作□．再以为邻边作□，则．9.已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是____.(填序号)【答案】①④##④①【解析】【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.【详解】①;②;③;④.故答案为：①④.10.如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：【答案】