解三角形课件(全)-

温故知新新课引入自主预习课堂典例讲练思路方法技巧建模应用引路探索延拓创新名师辨误做答课后强化作业（点此链接）

【思考】【点拨】

余弦定理的简单运用【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.(2)在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的.【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a2-(b-c)2=bc，(1)求A；(2)若B等于x，周长为y，求函数y=f(x)的取值范围.【审题指导】先对a2-(b-c)2=bc进行化简，再利用余弦定理求解；先写出y=f(x)的解析式，再利用三角函数知识求解.【规范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:a2-b2-c2=-bc，∴又∵0<A<π,∴A=(2)故∴y的取值范围为【变式训练】△ABC中，若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最大内角为()(A)60°(B)90°(C)120°(D)150°【解题提示】先判断出最大边，再利用余弦定理计算最大角.【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，由余弦定理∴C=120°.

正、余弦定理的综合应用【名师指津】正、余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之.【例2】(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=(1)求(2)若求B.【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得的值；(2)利用余弦定理求B.【规范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A

即sinB(sin2A+cos2A)故sinB所以(2)由余弦定理得又因为所以整理得又由(1)知b2=2a2，故可得cos2B=又cosB>0，故所以B=45°.【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，从而导致(2)无法求解.【变式训练】在△ABC中，AC=2，BC=1，(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值.【解题提示】先由余弦定理解出AB，再结合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC(2)由cosC=且0<C<π，得由正弦定理得解得又∵AB>BC,∴C>A，

判断三角形的形状【名师指津】判断三角形形状的方法：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状.

【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的形状.【审题指导】将角化为边或将边化为角来判断三角形的形状.【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定理知a=2bcosC,再由余弦定理得∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.【互动探究】本例中，将所给条件变为b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？【解题提示】利用“角化边”或“边化角”来判断三角形的形状.【解析】方法一：由正弦定理(R为△ABC外接圆的半径），将原式化为sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，∴B+C=90°.∴A=90°.∴△ABC为直角三角形.方法二：将已知等式变为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得即∴b2+c2=a2.∴△ABC为直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，求证：【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利用三角函数知识化简.【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB，∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理得：由正弦定理得：代入上式整理得：【变式备选】在△ABC中，求证：【证明】由余弦定理得，【典例】(12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.【审题指导】应用正、余弦定理及其变形化简即可.【规范解答】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c………………2分即a2=b2+c2+bc…………3分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可求得cosA=………5分又∵A为△ABC内角，∴A=120°.……6分(2)由a2=b2+c2+bc得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC………8分又∵A=120°,sinB+sinC=1,∴sinB=sinC=……10分因为0°<B<90°,0°<C<90°,故B=C………………11分所以△ABC是等腰的钝角三角形.……12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？【解析】方法一：acosA+bcosB=ccosC,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,cosA=0或cosB=0,得所以△ABC是直角三角形.方法二：由余弦定理得：上式两边同乘以2abc得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4a4+b4-2a2b2=c4(a2-b2）2=c4∴a2-b2=c2或a2-b2=-c2∴a2=b2+c2或a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.1.三角形的三边分别为4、6、8，则此三角形为()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不存在【解析】选C.∵42+62<82，∴此三角形为钝角三角形.2.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,则边b=()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×3.在△ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是()(A)无解(B)一解(C)两解(D)不能确定【解析】选B.已知两边及其夹角的三角形惟一确定.4.在△ABC中，B=60°,b2=ac，则△ABC的形状为____.【解析】∵b2=ac,∴a2+c2-2accos60°=ac，∴(a-c)2=0.∴a=c,∴△ABC为等腰三角形.又∵B=60°，∴△ABC为正三角形.答案：正三角形5.在△ABC中，若AB=AC=5且cosC=则BC=______.【解析】由余弦定理得∴BC2-9BC+20=0,∴BC=4或5.答案：4或56.在△ABC中，已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，求角C.【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，∴C=120°或60°.【思考】【点拨】

可到达的两点的距离问题【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形.【例1】如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.【审题指导】由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而可解出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦定理求得.【规范解答】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°,∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=(2)在△ABE中，AB=2，故由正弦定理得【变式训练】在△ABC中，已知A=45°，(1)求cosC的值；(2)若BC=10,D为AB的中点，求CD的长.【解析】(1)∵且0°＜B＜180°,∴cosC=cos(180°-A-B)=cos(135°-B)=cos135°cosB+sin135°sinB(2)由（1)可得由正弦定理得即解得AB=14，∴BD=7.∴CD2=BD2+BC2-2BD·BCcosB=72+102-2×7×10×=37,所以【误区警示】(1)问中的符号容易出现错误从而导致第(2)问中的结果出现错误.

不可到达的两点的距离问题【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的问题：测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个三角形中.【例2】如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°,∠MQP=30°，∠MQN=45°,试求两个目标物Ｍ，N之间的距离.【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分别利用正弦定理和余弦定理求解.【规范解答】根据题意，知PQ=40，∠PMQ=30°,∠PNQ=60°,在△MPQ中，由正弦定理，得即在△NPQ中，由正弦定理，得即在△MQN中，由余弦定理，知ＭN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠MQN故MN2=从而故两个目标物M，N之间的距离是米.【互动探究】本题条件若改为：MP=PQ=40米，米，∠MPQ=120°,∠NQP=75°,又如何求MN的距离呢？【解题提示】可先由余弦定理求出MQ，再求出∠MQP,进而求出∠MQN,然后由余弦定理求得MN.【解析】∵MP=PQ=40，∠MPQ=120°，在△MPQ中，由余弦定理得∴MQ2=MP2+PQ2-2MP·PQcos∠MPQ=402+402-2×40×40cos120°=4800，∴又∵MP=PQ,∠MPQ=120°,∴∠MQP=30°,又∵∠NQP=75°,∴∠NQM=45°，在△MNQ中由余弦定理得∴MN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠NQM∴即两个目标物M，N之间的距离为米.【例】如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A、20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01km)【审题指导】(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需求出PA的长和cos∠APD即可.【规范解答】(1)依题意，PA-PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km).因此PB=(x-12)km，PC=(18+x)km,在△PAB中，AB=20km，同理，在△PAC中可求得由于cos∠PAB=cos∠PAC,即解得(2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB所以静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.【变式备选】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.【解析】作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.在△DEF中，由余弦定理得，cos∠DEF【典例】(12分)如图，△OAB是等边三角形，∠AOC=45°，A、B、C三点共线，(1)求sin∠BOC的值；(2)求线段BC的长.【审题指导】求sin∠BOC的值，可以利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求BC即可.【规范解答】

(1)∵△OAB是等边三角形，∠AOC=45°,∴∠BOC=45°+60°,sin∠BOC=sin(45°+60°)…………4分=sin45°cos60°+cos45°sin60°=……………6分(2)在△OBC中，

……………8分∴

…………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,(1)求∠ADC的大小；(2)求AB的长.【解析】(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得∴∠ADC=120°.(2)由（1)得∠ADB=60°,在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得1.已知A、B两地相距10km,B、C两地相距20km,且∠ABC=120°，则A、C两地相距（）（A）10km（B）km（C）km（D）km【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=700，∴AC=(km).2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是（）（A）c与a（B）c与b（C）c与β（D）b与α【解析】选D.在a,b,c,α,β五个量中，a,c,β不易测量，故选D.3.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部都在一条线上，则两船相距()(A)米(B)30米(C)米(D)米【解析】选C.如图所示，由题意知CO=米，BO=30米，∴CB=米.4.一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为_______.【解析】如图所示，在△ACD中，

∠ACD=60°,∴∴AD=6，即该船实际航程为6km.答案：6km5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.【解析】在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°.由正弦定理,可得，设C到AB的距离为CD，则∴河的宽度为米.

第2课时三角形中的几何计算1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;2.三角形各种类型的判定方法.

1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？探究一三角形面积公式AahaCBcb2.已知边角求三角形面积:ha＝bsinC＝csinBhb=csinA＝asinChc=asinB＝bsinAAahaCBDcb分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.(3)根据余弦定理的推论，得例2如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。CAB解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，，得例3在△ABC中，求证：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.探究二三角形边角关系应用证明：（1）根据正弦定理，可设（2）根据余弦定理右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.（1）acosA=bcosB例4判断满足下列条件的三角形的形状，提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.探究三判断三角形的形状另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形所以A=B思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.前一种解法正确.后一种解法遗漏了一种情况；所以此三角形为直角三角形.思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢?利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.形状所以B=60°或120°（1）若B=60°，则C=180°-60°-45°=75°故S=absinC=×2××sin75°=；答：三角形的面积为.1.三角形面积公式：2.确定三角形的形状利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.3．三角形形状的判断判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断三角形的形状．方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关系．常见结论有：4.解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、角B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解若cos(A＋B)>0，则角C是钝角；若cos(A＋B)<0，则角C是锐角；若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以达到化异为同的效果．练习3．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.4．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA＝tanB，a＝b(1＋cosA)，求证：A＝C.5.3.在△ABC中，求证：c(acosB－bcosA)＝a2－b2.作业5.在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．若sinB＋sinC＝1（1）试判断△ABC的形状.（2）求sinB＋sinC的最大值.第3课时三角形中的几何计算

在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ha＝bsinC＝csinB

hb=csinA＝asinC

hc=asinB＝bsinA1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点)2.三角形各种类型的判定方法.(难点)1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D探究点1三角形面积公式AaCBcbhahchb提示:ha＝bsinC＝csinBhb=csinA＝asinChc=asinB＝bsinAAahaCBDcb2.如何用已知边和角表示三角形的面积？提示:【即时练习】分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.例1在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1）:（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°,b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，

b=27.3cm，c=38.7cm.(3)根据余弦定理的推论，得【变式练习】例2如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.CAB解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.

【分析】连结BD，将四边形ABCD

转化为三角形.

【解析】如图，连结BD，

设四边形ABCD的面积为S.【变式练习】则S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.∵四边形ABCD为圆内接四边形，

A+C=180°，∴sinA=sinC，cosA=-cosC，∴S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.在△ABD中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA

=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.

在△BCD中，同理可得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC

=62+42+2×6×4cosA=52+48cosA.

由BD2=BD2，得