知识点52应用三大观点解决滑块与长木板碰撞问题（拔尖）

学问点52：应用三大观点解决滑块与长木板碰撞问题【学问思维方法技巧】〔1〕滑块与木板碰撞模型的特点：系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统削减的机械能．假设滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大．〔2〕滑块与木板碰撞模型的求解方法：①求速度：依据动量守恒定律求解，讨论对象为一个系统；②求时间：依据动量定理求解，讨论对象为一个物体；③求系统产生的内能或相对位移：依据能量守恒定律Q＝fΔx或Q＝E初－E末，讨论对象为一个系统．考点一：滑块与木板碰撞模型题型一：滑块带木板模型【典例1拔尖题】如图甲所示，质量m1＝4kg的足够长的长木板静止在光滑水平面上，质量m2＝1kg的小物块静止在长木板的左端．现对小物块施加一水平向右的作用力F，小物块和长木板运动的速度－时间图象如图乙所示.2s后，撤去F，g取10m/s2.求：(1)小物块与长木板之间的动摩擦因数μ；(2)水平力的大小F；(3)撤去F后，小物块和长木板组成的系统损失的机械能ΔE.【典例1拔尖题】【答案】(2)4N(3)3.6J【解析】(1)由题图可知：长木板的加速度a1＝eq\f(1,2)m/s2＝0.5m/s2，由牛顿其次定律可知：小物块施加给长木板的滑动摩擦力Ff＝m1a1＝2N，小物块与长木板之间的动摩擦因数：μ＝eq\f(Ff,m2g)＝(2)由题图可知，小物块的加速度a2＝eq\f(4,2)m/s2＝2m/s2，由牛顿其次定律可知：F－μm2g＝m2a2解得F＝4N(3)撤去F后，小物块和长木板组成的系统动量守恒，以向右为正方向，最终两者以相同速度(设为v)运动m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，代入数据解得v＝1.6m/s，那么系统损失的机械能ΔE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m1v\o\al(2,1)＋\f(1,2)m2v\o\al(2,2)))－eq\f(1,2)(m1＋m2)v2＝3.6J题型二：块与板运动方向相反模型【典例2拔尖题】如下图，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，M＝2m，A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0，使A开头向左运动，B开头向右运动，最终A没有滑离B。重力加速度为g，求：(1)A、B最终的速度大小和方向；(2)平板车B的最小长度L。【典例2拔尖题】【答案】(1)eq\f(v0,3)方向向右(1)eq\f(4veq\o\al(2,0),3μg)【解析】(1)对A、B系统，取水平向右为正，由动量守恒定律得Mv0－mv0＝(M＋m)v解得v＝eq\f(M－m,M＋m)v0＝eq\f(v0,3)，方向水平向右。(2)当A运动到B的最左端时，到达共同速度v，由能量守恒定律得μmgL＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2，解得L＝eq\f(4veq\o\al(2,0),3μg)。题型三：多个滑块与木板碰撞模型【典例3拔尖题】如图，在光滑的水平面上静止着足够长、质量为3m的木板，木板上依次排放质量均为m的木块1、2、3，木块与木板间的动摩擦因数均为μ.现同时给木块1、2、3水平向右的初速度v0、2v0、3v0，最终全部的木块与木板相对静止．重力加速度为g，求：〔1〕木块3从开头运动到与木板相对静止时位移的大小；〔2〕木块2在整个运动过程中的最小速度．【典例3拔尖题】【答案】(1)eq\f(4v\o\al(2,0),μg)(2)eq\f(5,6)v0【解析】(1)当木块3与木板的速度相等时，3个木块与木板的速度均相等，设为v，以v0的方向为正方向．系统动量守恒m(v0＋2v0＋3v0)＝6mv，木块3在木板上匀减速运动：μmg＝ma，由运动学公式(3v0)2－v2＝2ax3解得x3＝eq\f(4v\o\al(2,0),μg)(2)设木块2的最小速度为v2，此时木块3的速度为v3，由动量守恒定律m(v0＋2v0＋3v0)＝(2m＋3m)v2＋mv3，在此过程中，木块3与木块2速度转变量相同3v0－v3＝2v0－v2解得v2＝eq\f(5,6)v0.题型四：滑块与多个木板碰撞模型【典例4拔尖题】如下图，在光滑水平面上放置一端带有挡板的长直木板A，木板A左端上外表有一小物块B，其到挡板的距离为d＝2m，A、B质量均为m＝1kg，不计一切摩擦。从某时刻起，B始终受到水平向右、大小为F＝9N的恒力作用.经过一段时间，B与A的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞时间极短。重力加速度g＝10m/s2。求：〔1〕物块B与A挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小；〔2〕由静止开头经多长时间物块B与木板A挡板发生其次次碰撞，碰后瞬间A、B的速度大小；〔3〕画出由静止释放到物块B与A挡板发生3次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像；〔4〕从物块B开头运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离。【典例4拔尖题】【答案】〔1〕物块B与A挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小分别为0和6m/s；〔2〕由静止开头经2s时间物块B与木板A挡板发生其次次碰撞，碰后瞬间A、B的速度大小分别为12m/s和6m/s；〔3〕物块B的速度v随时间t的变化图像见解答；〔4〕从物块B开头运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离为〔4n2﹣4n+2〕m。【解析】〔1〕第一次碰撞前物块B向右匀加速直线运动，木板A静止。设B的加速度为a，第一次碰撞前瞬间B的速度为vB1，碰后瞬间A、B的速度大小分别为vA1、vB1′。对B由牛顿其次定律得：F＝ma，代入数据解得：a＝9m/s2，d=12at12，vB1＝at1，代入数据解得：vB1＝6m/s，t1=23s，B与A的发生弹性碰撞，以向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：mvB1＝mA1+mvB1′，12mvB12=1〔2〕第一次碰撞后物块B由速度为零开头向右匀加速直线运动〔加速度仍为a〕，木板A以速度vA1向右匀速运动。设第一次碰撞到其次次碰撞时间为t2，其次次碰撞前瞬间B的速度为vB2，碰后瞬间A、B的速度大小分别为vA2、vB2′。由位移关系得：vA1t2=12at22，vB2＝at2，代入数据解得：vB2＝12m/s，t2=43s，同理，B与A的发生弹性碰撞，质量相等，速度交换，可得：vB2′＝6m/s，vA2＝12m/s，由静止开头到物块B与木板A挡板发生其次次碰撞的时间：t＝t1+t2〔3〕其次次碰撞后物块B由速度vB2′开头向右匀加速直线运动〔加速度仍为a〕，木板A以速度vA2向右匀速运动。设其次次碰撞到第三次碰撞时间为t3，第三次碰撞前瞬间B的速度为vB3，碰后瞬间A、B的速度大小分别为vA3、vB3′。由位移关系得：vA2t3＝vB2′t3+12vB3＝vB2′+at3，代入数据解得：vB3＝18m/s，t3=43s，同理，B与A的发生弹性碰撞，质量相等，速度交换，可得：vB3′＝12m/s，vA3＝18m/s，发生3次碰撞时间内物块B的速度v随时间t的变化图像如图〔4〕由上述分析画出A、B的v﹣t图像如图2所示，其中黑色图线为B的运动图像，红色图线为A的运动图像。每相邻两次碰撞时间间隔Δt=43s，每相邻两次碰撞时间内A的位移较前一次增加量均相等，都等于图中阴影局部的面积，即Δx＝6×43m＝8m，从第1次碰撞后到第n次碰撞时间内木板A的位移：xA＝Δx+2Δx+3Δx+……+〔n﹣1〕Δx=n2-n2•Δx＝〔4n2﹣4n〕m，第一次碰撞前物块B的位移：xB0=12×6×23m＝2m，从物块B开头运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离：xB考点二：滑块与木板碰撞+组合模型题型一：滑块碰撞含弹簧木板组合模型【典例1拔尖题】如下图，质量M＝4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L＝0.5m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上外表光滑。木块A以速度v0＝10m/s由滑板B左端开头沿滑板B外表向右运动。木块A的质量m＝1kg，g取10m/s2。求：(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度。(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能。【典例1拔尖题】【答案】(1)2m/s(2)39J【解析】(1)弹簧被压缩到最短时，木块A与滑板B具有相同的速度，设为v，从木块A开头沿滑板B外表向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，A、B系统的动量守恒：mv0＝(M＋m)v，解得v＝eq\f(m,M＋m)v0，代入数据得木块A的速度v＝2m/s。(2)木块A压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大。由能量关系，最大弹性势能Ep＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(m＋M)v2－μmgL，代入数据得Ep＝39J。【典例1拔尖题对应练习】如图，质量为M＝8kg的木板AB静止放在光滑水平面上，木板右端B点固定一根轻质弹簧，弹簧自由端在C点，C到木板左端的距离L＝0.5m，质量为m＝2kg的小木块(可视为质点)静止放在木板的左端，木块与木板间的动摩擦因数为μ＝，木板AB受到水平向左的恒力F＝28N，作用一段时间后撤去，恒力F撤去时木块恰好到达弹簧自由端C处，此后运动过程中弹簧最大压缩量x＝5cm，g＝10m/s2.求：〔1〕水平恒力F作用的时间t；〔2〕撤去F后，弹簧的最大弹性势能Ep；〔3〕整个过程产生的热量Q.【典例1拔尖题对应练习】【答案】(1)1s(2)0.6J(3)2.8J【解析】(1)木板向左做初速度为零的匀加速运动，而小木块在摩擦力Ff＝μmg的作用下也做初速度为零的匀加速运动，设木板、小木块的加速度大小分别为a1、a2，由牛顿其次定律得：对木板F－μmg＝Ma1，对小木块μmg＝ma2，解得：a1＝3m/s2，a2＝2m/s2；撤去F时，木块刚好运动到C处，那么由运动学公式得：L＝eq\f(1,2)a1t2－eq\f(1,2)a2t2，解得：t＝1s；(2)撤去力F时，木板、小木块的速度分别为v1、v2，由运动学公式得v1＝a1t＝3m/s，v2＝a2t＝2m/s，撤去力F时，因M的速度大于m的速度，木块将压缩弹簧，小木块加速，木板减速，当它们具有共同速度v时，弹簧弹性势能最大，设为Ep，将木块和木板及弹簧视为系统，规定向左为正方向，系统动量守恒，那么有：Mv1＋mv2＝(M＋m)v，系统从撤去力F后到其有共同速度，由能量守恒定律得：eq\f(1,2)Mv12＋eq\f(1,2)mv22＝eq\f(1,2)(M＋m)v2＋Ep＋μmgx，解得：Ep＝0.6J，木板压缩弹簧的最大弹性势能为0.6J；(3)假设木块相对木板向左滑动离开弹簧后系统又能到达共同速度v′，相对向左滑动的距离为s，由动量守恒定律得Mv1＋mv2＝(M＋m)v′，由能量守恒定律得eq\f(1,2)(M＋m)v2＋Ep＝eq\f(1,2)(M＋m)v′2＋μmgs，解得：s＝0.15m，由于x＋L>s且s>x，故假设成立，所以整个运动过程中系统产生的热量为Q＝μmg(L＋x＋s)＝2.8J.题型二：滑块碰撞板块组合模型【典例2拔尖题】如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为1kg和2kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1kg，A和C以相同速度v0＝10m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0.1.重力加速度大小取g＝10m/s2.(1)假设0<k，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向；(2)假设k＝，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小．【典例2拔尖题】【答案】(1)5(1－k)m/s，方向向右eq\f(10－20k,3)m/s，方向向右(2)1.875m【解析】(1)物块C、D碰撞过程中满意动量守恒，设碰撞后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为v物，C、D的质量均为m＝1kg，以向右为正方向，那么有mv0－m·kv0＝(m＋m)v物，解得v物＝eq\f(1－k,2)v0＝5(1－k)m/s>0，可知碰撞后瞬间物块C、D形成的新物块的速度大小为5(1－k)m/s，方向向右．滑板A、B碰撞过程中满意动量守恒，设碰撞后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑，滑板A和B质量分别为1kg和2kg，那么由Mv0－2M·kv0＝(M＋2M)v滑，解得v滑＝eq\f(1－2k,3)v0＝eq\f(10－20k,3)m/s>0，那么新滑板速度方向也向右．(2)假设k＝，可知碰后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为v物′＝5(1－k)m/s＝5×(1－0.5)m/s＝2.5m/s，碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑′＝eq\f(10－20k,3)m/s＝0，可知碰后新物块相对于新滑板向右运动，新物块向右做匀减速运动，新滑板向右做匀加速运动，新物块的质量为m′＝2kg，新滑板的质量为M′＝3kg，设相对静止时的共同速度为v共，依据动量守恒可得m′v物′＝(m′＋M′)v共，解得v共＝1m/s，依据能量守恒可得μm′gx相＝eq\f(1,2)m′(v物′)2－eq\f(1,2)(m′＋M′)v共2，解得x相＝1.875m.题型三：板块模型碰撞挡板模型【典例3拔尖题】如下图，P为固定的竖直挡板，质量为的长木板A静置于光滑水平面上〔A的上外表略低于挡板P下端〕，质量为的小物块B〔可视为质点〕以水平初速度从A的左端向右滑上A的上外表，经过一段时间A、B第一次到达共同速度，此时B恰好未从A上滑落，然后物块B与长木板A一起向右运动，在时刻，物块B与挡板P发生了第一次碰撞，经过一段时间物块B与长木板A其次次到达共同速度，之后物块B与挡板P发生了很屡次碰撞，最终在〔未知〕时恰好相对地面静止。A、B间的动摩擦因数为，重力加速度为g，物块与挡板P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，求：〔1〕木板A的长度；〔2〕A、B其次次到达共同速度时B离A左端的距离；〔3〕时间内B经过的路程；【典例3拔尖题】【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕【解析】〔1〕依题意，设木板的长度为，A、B第一次到达共速时速度大小为，物块和木板由动量守恒定律有，依据能量守恒定律有，联立求得，〔2〕由于物块与挡板P发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，因此物块第一次与挡板碰撞后的速度大小不变，方向向左，设二者其次次碰撞前到达共速的速度大小为，取方向向右为正，依据动量守恒定律有，依据能量守恒定律有，联立求得，，那么可得此时物块距木板左端的距离为〔3〕由〔1〕〔2〕问分析可知，物块B与木板第次共速时的速度为，对B，从B第一次撞击挡板到其次次撞击挡板过程，有，，从B其次次撞击挡板到第三次撞击挡板过程，有，从B第次撞击挡板到第次撞击挡板过程，有，那么，得题型四：滑块组合运动+碰撞木板模型【典例4拔尖题】如下图，质量m＝1kg的物块，可视为质点，右端和墙壁间压缩一水平轻弹簧，从A点静止释放后滑出B点，恰能过C点沿半径R＝0.5m的竖直半圆弧轨道的内侧做圆周运动，经最低点D滑到静止在水平地面的木板上．木板质量M＝4kg、长度L＝2.05m，且与右侧等高的平台P相碰时将被马上锁定．物块与平台AB、物块与木板间的动摩擦因数均为μ＝，其余摩擦不计，A、B间的距离L0＝0.6m，木板右端距离平台P左侧的初始距离为s，g＝10m/s2.求：〔1〕弹簧弹力对物块所做的功W；〔2〕物块经过D点时所受轨道支持力F的大小；〔3〕物块滑上平台P时的动能Ek与s的关系．【典例4拔尖题】【答案】(1)5.5J(2)60N(3)见解析【解析】(1)物块恰好通过C点，有mg＝meq\f(v\o\al(C2),R)解得vC＝eq\r(5)m/s由动能定理得，W－μmgL0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(C2)解得W＝5.5J(2)物块由C运动到D，由动能定理得2mgR＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mvC2解得vD＝5m/s在D点，F－mg＝meq\f(v\o\al(D2),R)解得F＝60N(3)假设物块与木板能共速，由动量守恒定律得mvD＝(M＋m)v共解得v共＝1m/s对物块，－μmg·x物＝eq\f(1,2)mv共2－eq\f(1,2)mvD2，得x物＝2.4m对木板，μmg·x板＝eq\f(1,2)Mv共2，得x板＝0.4m,(L＋x板＞x物)(用牛顿运动定律解答同样得分)①假设s≥0.4m，物块能和木板共速，由能量守恒得：Ek＝eq\f(1,2)mv共2－μmg(L＋x板－x物)＝0.25J②假设s<0.4m，物块不能和木板共速，那么由能量守恒得：Ek＝eq\f(1,2)mvD2－μmg·(L＋s)＝－5s【典例4拔尖题对应练习】如下图，一原长为2L的轻质弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与质量m1＝2kg的物块P接触但不相连．AB是长度为5L的光滑水平轨道，一水平传送带与B端平滑连接，物块P与传送带之间的动摩擦因数μ＝，传送带右端与水平光滑轨道CD平滑连接，传送带始终以v＝2m/s的速率匀速顺时针转动．质量为m2＝6kg的小车放在光滑水平轨道上，位于CD右侧，小车左端与CD段平滑连接，右侧是