向量的数乘运算人教版高中数学必修四课件

必修四第二章平面向量及其应用2.2.3向量的数乘运算

新乡市一中汤勇特点：共起点，连终点，方向指向被减向量1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，连首尾特点:同一起点,对角线AO2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:B旧知回顾1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点BAO特点：共起点，连终点，方向指向被减数2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:实际背景讲授新课思考题1:已知向量如何作出和OABCNMQP记:即:同理可得:思考题2:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即一、向量的数乘运算的定义：注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向二、数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.

3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件解：（1）（2）3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件(1)

根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)

已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。=3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例2：计算下列各式3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件共线向量的充要条件：向量共线定理：对于向量a(a≠0),b，以及实数λ。问题1：如果b=λa

那么，向量a与b是否共线？问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？向量b与非零向量

a共线当且仅当有唯一个实数λ，使得b=λa

3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件1.把下列各小题中得向量b表示为实数与向量a得积.练习：3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件2.判断下列各小题中的向量a与b是否共线.练习：3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例3.设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a

b)，求证：A、B、D三点共线。分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD=2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD∴

A、B、D三点共线AB∥BD且AB与BD有公共点B

向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使得．定理3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例4.如图：已知，，试判断与是否共线．

∴与共线．

解：

向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使得．定理3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb∵AB=OB-OA∴AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例5：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+

bMC=…=a+

b3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件练习3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例7:若其中

,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记①，②3②得③①-③得3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例8.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ＡＢＣＤ解：因为3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件ＡＢＣＤE过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例8.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例8.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ＡＢＣＤ解：（２）所以，所证等式成立3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件练习:

如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.ECODBA

分析:

解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。解：因为A是BC的中点，所以

3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件基础知识反馈C.A.B.(2).设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().D.(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件练习（C

）分析:由所以

在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCD3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线

3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理

(a≠0)

b=λa向量a与b共线3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件向量与平面几何3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件ABDCABDC四边形ABCD是菱形四边形ABCD是矩形3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心

向量与三角形的“心”：

3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件ABCOABCDMABCOM外心重心重心通过三角形ABC的_________内心3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件例13向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件O是平面上一点，A、B、C

是平面上不共线的三个点，动点P

满足，λ∈[0，＋∞）,则P

的轨迹一定通过△ABC

的()A．外心B．内心C．重心D．垂心B例2.3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件0xyBCAC’B’D(P)解：设为上的单位向量，为上的单位向量则的方向为∠BAC的角平分线AD的方向（如图）3向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版