2021-2022学年河南省信阳市息县第四高级中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年河南省信阳市息县第四高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为,,对任意,则的解集为（

）A.

B.

C.

D.R参考答案：B2.若直线上存在点满足约束条件,则实数a的最大值为 （）

A．-1

B．1

C．

D．2参考答案：B3.函数的零点个数为 ()A．0

B．1C．2

D．3参考答案：C4.抛物线与直线相交于A、B两点，点P是抛物线C上不同A、B的一点，若直线PA、PB分别与直线相交于点Q、R，O为坐标原点，则的值是A.20

B.16

C.12

D.与点P位置有关的一个实数参考答案：A5.已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.4参考答案：A本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知==，所以应选A。6.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（

） A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B略7.方程的实数解落在的区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线对称的是（

）A.

B

C．

D

参考答案：B略9.是集合到对应的集合的映射，若，则等于(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a5+a8=12，则S9等于（）A．18 B．36 C．72 D．无法确定参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质和已知可得a5的值，由求和公式可得S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a2+a5+a8=3a5=12，解得a5=4，由求和公式可得S9===9a5=9×4=36故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2﹣a﹣b﹣c=0，a+b﹣c+2=0，则△ABC中最大角的余弦值为．参考答案：﹣【考点】余弦定理．【分析】分别将两式相加减得出a与b，a与c的关系，使用作差法判断最大边，利用余弦定理解出cosC．【解答】解：∵a2﹣a﹣b﹣c=0，a+b﹣c+2=0，两式相加得：a2﹣2+2=0，∴c=．两式相减得：a2﹣2a﹣2﹣2=0，∴b=．显然c＞b．由b=＞0得a2﹣2a﹣2＞0，解得a＞1+或a（舍）．∴c﹣a=﹣a=＞0．∴c＞a．∴△ABC中，C为最大角．∴cosC====﹣．故答案为：﹣．12.已知恒成立，则实数m的取值范围是

。参考答案：13.在正中，是上的点，若，则

．参考答案：

考点：向量的数量积.14.函数的值域为________.参考答案：【分析】本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域.【详解】且

值域为：本题正确结果：【点睛】本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题.15.在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则△ABC中最大角=

。参考答案：16.已知△ABC的面积为2，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，A=，则a的最小值为

．参考答案：【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．【解答】解：由三角形面积公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，则a≥2，即a的最小值为2，故答案为：2．【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作角，角的终边经过点.则____参考答案：【分析】根据任意角三角函数定义可得；根据，利用二倍角公式即可求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查三角恒等变换中的三角函数值的求解问题，涉及到诱导公式的应用、任意角三角函数的定义、二倍角公式应用等知识.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设m个正数a1，a2，…，an（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列．（1）若a1=d=1，q=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得：ak=8，因此数列a1，a2，…，am为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，即可得出．（2）由于a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首项为3，公差为3的等差数列，可得ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列，可得ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，要使m最大，则k必须最大．又k＜m＜2015，即可得出；（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列，可得ak=．故a1+（k﹣1）d=，（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，化简整理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：ak=8，因此数列a1，a2，…，am为1，2，3，4，5，6，7，8，4，2共10个数，此时m=10，Sm=42．（2）∵a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是首项为3，公差为3的等差数列，∴ak=3k．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为q的等比数列，∴ak=3m+2﹣k，因此3k=3m+2﹣k，∴k?3k=3m+1，要使m最大，则k必须最大．又k＜m＜2015，故k的最大值为36，可得36?3729=3m+1，解得m的最大值是734．（3）由a1，a2，a3，…，ak﹣1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，可得ak=a1+（k﹣1）d．而a1，am，am﹣1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列，∴ak=．故a1+（k﹣1）d=，∴（k﹣1）d=a1（2m+1﹣k﹣1）．又a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am），am=2a1，∴=3×2a1×，则ka1+=6（2m﹣k﹣1），则+k=6（2m﹣k﹣1），即k?2m+1﹣k+k=6×2m+1﹣k﹣12，k≠6，则2m+1﹣k==﹣1+，∴k＜6，代入验证可得：当k=4时，上式等式成立，此时m=6．综上可得：当且仅当m=6时，存在k=4满足等式．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.设f（α）=sinnα+cosnα，n∈{n|n=2k，k∈N+}（I）分别求f（α）在n=2，4，6时的值域；（Ⅱ）根据（I）中的结论，对n=2k，k∈N+时f（α）的取值范围作出一个猜想（只需写出猜想，不必证明）．参考答案：【考点】三角函数的最值．【专题】综合题；探究型；对应思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）当n=2时，由平方关系求得f（α）=1，得到f（α）的值域为{1}；当n=4时，把f（α）变形可得f（α）=，得f（α）的值域为[，1]；当n=6时，f（α）=，f（α）的值域为[，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论猜想，当n=2k，k∈N*时，．【解答】解：（Ⅰ）当n=2时，f（α）=sin2α+cos2α=1，∴f（α）的值域为{1}；当n=4时，f（α）=sin4α+cos4α=，此时有f（α）≤1，∴f（α）的值域为[，1]；当n=6时，f（α）=sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α+cos4α﹣sin2αcos2α）=，此时有f（α）≤1，∴f（α）的值域为[，1]．（Ⅱ）由以上结论猜想，当n=2k，k∈N*时，．【点评】本题考查三角函数最值的求法，考查三角函数的值域，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．20.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积.（1）求角C的大小；（2）设函数，求的最大值,及取得最大值时角B的值.参考答案：【知识点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．C7C8

【答案解析】（1）（2）解析：（1）由S=absinC及题设条件得absinC=abcosC………………1分即sinC=cosC,tanC=,………………2分0<C<,C=……………4分（2）

………7分， ……9分∵C=∴

∴

（没讨论，扣1分）

…10分当，即时，有最大值是…………

…12分【思路点拨】（1）利用三角形面积公式和已知等式，整理可求得tanC的值，进而求得C．（2）利用两角和公示和二倍角公式化简整理函数解析式，利用B的范围和三角函数性质求得函数最大值．21.（5分）（2009?山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+参考答案：【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．22.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f(