广东省汕头市潮阳区第一中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省汕头市潮阳区第一中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为

（）A．1

B．

C．

D．参考答案：C2.如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC参考答案：D依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC.综上所述可知选D.3.已知是虚数单位，则等于 A B C D参考答案：A略4.函数的值域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.执行如图所示的程序框图,输出的S值为时，则输入的的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】程序框图L1D设，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；循环终止，此时，，，故选D.【思路点拨】按条件依次循环，当循环终止时，，即可求解.6.已知sin（）=则cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．7.在上恒满足，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知集合，则(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：,考点：集合的运算9.(05年全国卷Ⅱ理)函数的反函数是（A）（B）（C）（D）

参考答案：答案：B10.下列说法中正确的是A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1

D.设随机变量服从正态分布，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视如下图，则该几何体的体积是

。参考答案：12.已知，则

.参考答案：-4函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

.参考答案：略14.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则最大值为______________.参考答案：2略15.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是

.参考答案：或。函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或。

16.给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．17.已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角梯形中，，且分别是边上的点，沿线段将翻折上去恰好使，

(1)求证：；（2）已知BD与平面ABC所成角的正弦值。参考答案：解：（1）,、平面，平面，

…………4分又平面，

…………6分（2）过作于，连接，平面，，而，可得平面，即与平面所成的角，

…………10分易知、分别为和的中点，，，在直角梯形中，可求得，，，

…………12分在直角三角形中，可求得，

…………13分在直角三角形中，

…………15分略19.(本小题满分12分)已知数列满足，．(1)求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．参考答案：证明：（1），，又，∴≠0，≠0，∴，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.，因此．

（2）∵，∴，∴，

即，∴略20.过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，且.(1)求的方程；(2)若关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点并求出该点的坐标.参考答案：(1)的坐标为，设的方程为代入抛物线得，由题意知，且，设，，∴，，由抛物线的定义知，∴，∴，即，∴直线的方程为.直线的斜率为，∴直线的方程为，即，∵，，∴，即(因为异号)，∴的方程为，恒过.21.在△ABC中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．参考答案：考点：两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．解答： 解：（Ⅰ）∵cosB=且B∈（0，π），∴sinB==，则cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（﹣B）=coscosB+sinsinB=﹣﹣+﹣=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC===，由正弦定理得=，即=，解得AB=6，在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BC?ADcosB=（2）2+32﹣2×3×2×=5，所以CD=．点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及正弦、余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．22.在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽N个人的血，可以用两种方法进行.(1)将每个人的血分别去验，这就需N次.(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽出来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血液都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验.这样，这k个人的血总共要化验k+1次.假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的.(Ⅰ)设以k个人为一组时，记这k个人总的化验次数为X，求X的分布列与数学期望；(Ⅱ)设以k个人为一组，从每个人平均需化验的次数的角度