2022-2023学年浙江省台州市东浦中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年浙江省台州市东浦中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是

(

)A．直线l过点(，)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同参考答案：A2.设集合，则

(

)A．｛1，3｝

B．｛2，4｝

C．｛1，2，3，5｝

D．｛2，5｝参考答案：A3.设复数=1+i，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：∵=1+i，∴，则．故选：A．4.对于任意给定的实数m，直线3x+y﹣m=0与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（） A． B． C． 3 D． 2参考答案：A5.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A.

B.

C.

D．参考答案：C略6.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．7.已知集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，则A∩B=（）A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（2，4] D．[2，4]参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤4}=（2，4]．故选C．8.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．参考答案：A9.若是锐角，且cos（）=﹣，则sin的值等于（）A．B．C．D．参考答案：B10.若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．分析： 由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答： 解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=﹣1kAB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象经过点A(1,1)，则不等式的解集为______.参考答案：（０，１）12.已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）=．参考答案：【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据任意三角函数的定义求出cosα的值，化简cos（π+2α），根据二倍角公式即可得解．【解答】解：角α的终边过点A（3，4），即x=3，y=4．∴r==5．那么cosα=．则cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣=．故答案为：．13.已知，则的展开式中的常数项为

参考答案：14.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=

．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．15.若向量满足，则向量的夹角为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把已知向量等式两边平方，代入数量积公式可求夹角．【解答】解：设向量的夹角为θ，∵，∴=．则4﹣8×2×1cosθ+16×1=28，解得cosθ=．∴θ=．故答案为：．16.设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是

． 参考答案：（﹣∞，]∪[，+∞）【考点】函数恒成立问题． 【分析】讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围． 【解答】解：f（x）=x|x﹣a|﹣a； ∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a； ∴4﹣3a≥0，a≤； ∴a≤； ②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a； ﹣a＜0，不满足f（x）≥0； 即这种情况不存在； ③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9； ∴2a﹣9≥0，a≥； ∴a≥； 综上得a的取值范围为：（﹣∞，]∪[，+∞）． 【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法． 17.若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y的最小值为﹣4，点P（x，y）所组成的平面区域的面积为

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．解答： 解：设z=x﹣3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，2）．将A（2，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×2=2﹣6=﹣4．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣4．∵B（0，1），C（1，0），D（2，0），∴△ABC的面积S=﹣=，故答案为：﹣4，点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..如图，在△ABC中，点D在边AB上，，，，.（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）在中利用余弦定理可求，在中，可求.（2）在中求出边上的高为，利用面积公式可求.【详解】（1）∵在中，，．∴由余弦定理可得：，可得：，由于，∴解得，∵，∴，又∵，∴．（2）在中，，，∴点到的距离，而，∴面积．【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.19.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为，其余费用为每小时元．（）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数．（）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？参考答案：见解析（）∵速度为海里/小时，航行时间为小时，总燃料费为元，其余费用为元，∴．（）∵，当且仅当时，等号成立，，即轮船以海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．20.已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意可得：DE⊥平面ACD，所以DE⊥AF，又AF⊥CD，再结合线面垂直的判定定理可得答案．（Ⅱ）建立空间坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．（Ⅲ）设AB=x，则x＞0，根据题中的条件可得：平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，再利用解三角形的有关知识可得：∴AH=，即可得到答案．解答： 解：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF?平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，∴AF⊥CD．∵DE?平面CDE，CD?平面CDE，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．（Ⅱ）如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，∵AC=2，∴A（0，0，），设AB=x，所以B（x，0，），C（0，1，0）所以=（x，0，0），=（0，1，﹣），设平面ABC的一个法向量为=（a，b，c），则由?=0，?=0，得a=0，b=c，不妨取c=1，则=（0，，1）．∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为（0，0，）．∴cos＜，＞==，∴＜，＞=60°．∴平面ABC与平面CDE所成的小于90°的二面角的大小为60°．（Ⅲ）设AB=x，则x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．又∵AF⊥CD，AB?平面ABF，AF?平面ABF，AB∩AF=A，∴CD⊥平面ABF．∵CD?平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．连BF，过A作AH⊥BF，垂足为H，则AH⊥平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．在Rt△AFB中，AB=x，AF=CD=，∴BF=，∴AH==∈（0，）．点评：此题实质上是一个底面为直角梯形且有一个侧面与底面垂直的四棱棱，通过图形位置的变化，考查学生在新的几何载体中，寻找发现线面之间的平行与垂直关系．第（Ⅱ）问把平行问题与作二面角的棱有机结合起来，通过二面角与点到平面距离的计算，考查学生计算能力，规范表示能力．21.某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

温差101113128发芽数/颗2325302616(1)从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考答案：(1)的所有取值范围有：，，，，，，，，，共有10个.设“均不小于25“为事件则事件包含的基本事件有，，，所有，故事件的概率为.(2)由数据得，，，.又，，，.所有关于的线性回归方程为.(3)当时，，，当时，，.所有得到的线性回归方程是可靠的.22.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．（1）根据