专题32圆中的面积综合问题(解析版)

专题32圆中的面积综合问题1、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为．E（1）求证：＝；DCBD（2）求证：为⊙的切线；DEOADODBOD（3）若＝AB12，＝6，连接，求扇形的面积．证明：（1）连接，AD∵是⊙的直径，ABO∴∠ADB＝90°，又∵＝，ABAC∴＝；DCBD（2）连接半径，OD∵＝，＝，OAOBCDBD∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵⊥，DEAC∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即⊥．ODDE∴是⊙的切线；DEOAD（3）∵＝AB12，＝6，∴sinB＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠BOD＝60°，∴＝S＝6π．BOD扇形2、如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：为⊙的切线；CEO（2）若⊥，＝OFAEAE4，∠OAF＝30°，求图面积．（结果保留π）中阴影部分的（1）证OE明：连接，∵AC＝，＝，ECOAOE∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO∵AC⊥，AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥，CD∴CE为⊙的切线；O（2）解：设＝，OFx∵∠OAF＝30°，⊥，OFAF∴OA＝2OF＝2x，在Rt△OEF中，由勾股定理得：，解得x＝2，∴OA＝4，∴，∵∠AOE＝120°，AO＝4；∴，∴．3、如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接，OD∵＝＝∠2，且＝90°，BFBCADB∴∠CBD＝∠FBD，∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB，∵＝，OEOB∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝＝2，BC∴⊙O的半径为，∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．4、如图，交CD的延长线于点E，＝ABAM．（1）求证：△ABM∽△ECA（2）当CM＝4OM时，的长；BM△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，．求（3）当CM＝kOM•时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．证明：（1）∵∥，AEBD∴∠AMB＝∠CAE，又∵∠＝∠ACD，ABD∴△ABM∽△ECA；（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA∴AE＝CE，，∵CM＝4OM，∴可以假设OM＝k，CM＝4k，∴OA＝OC＝5k＝5，∴k＝1，∴AM＝6，CM＝4，∵∥，DMAE∴：DMAE＝CM：CA＝4：10，设DM＝4m，则EA＝EC＝10m，∵AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB，∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，∴∠DMC＝∠C，∴DM＝DC＝4m，∴DE＝EC﹣DC＝6m，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴＝AD＝＝8m，∵+CDAD＝，AC222∴（8）+（4）＝10mm222∵＞0，m∴＝，m∵△∽△，AMBDMC∴＝，∴＝，∴＝．BM（3）设△的面积为．CDMx∵＝，CMkOM∴＝，＝，＝AM5+＝，OMCMACCMk∴：＝（2+2k）：，ACD∴△的面积＝•x，∵DM∥AE，∴：＝：＝：（CDDECMAMk2+），kADE∴△的面积＝••x，∴＝．5、如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点M为AB中点，点D在弧上，连接CD、BD，点G是CD的中点，连结MG．（1）求证：MG⊥CD；（2）如图2，若AC＝BC，AD平分∠BAC，AD与BC交于点，延长BD，与AC的延长线交于点，EF求证：CF＝CE；（3）在（2）的条件下，•＝3（2﹣），若求⊙的面积．OGDEO（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，点与重合，MO∴∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴CO＝AB，OD＝AB，∴CO＝OD，∵CG＝GD，∴CG⊥CD，即MG⊥CD．（2）证明：如图2中，在△和△中，ACEBCF，∴△≌△，ACEBCF∴＝．CECF（3）解：过点作⊥于，则＝，OOHBDHBHDH则＝，即＝2，OHADADOH又∵∠＝∠BAD，CAD∴＝，CDBD∴＝，OHOG∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△，ADB∴：＝：，BDADDEBDBD∴＝AD•DE＝2OH•DE＝2OG•DE＝6（2﹣），2∵是⊙的直径，ABO∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BF，而AD平分∠BAC，∴AB＝AF，∴BD＝FD，∴BF＝2BD，∴BF2＝4BD2＝24（2﹣），＝，则BC＝x，AB＝x，设ACx∴AF＝x，∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（﹣1）x，在Rt△BCF中，∵CF2+BC2＝BF2，x2∴[﹣1）x]2+＝24（2﹣），x2∴＝12，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AB＝x＝2，∴OA＝，∴⊙O面积＝π•（）2＝6π．6、如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．（1）求证：AB＝AC．（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．（1）证明：连接AP，∵是半圆O的直径，AB∴∠APB＝90°，∴AP⊥BC．∵PC＝PB，∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，∴AP＝AB＝2，∴BP＝＝＝2；②连接OP，∵∠ABC＝30°，∴∠PAB＝60°，∴∠POB＝120°．∵点O时AB的中点，∴＝SS＝×△PABAP•PB＝×2×2＝，△POB∴＝SS阴影﹣S扇形BOP△POB＝﹣＝π﹣．7、如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．（1）证明：连接OA，OD．∵点D是弧BE的中点，∴∠BOD＝∠EOD＝90°，∴∠ODF+∠OFD＝90°又∵∠OFD＝∠AFC，∴∠ODF+∠AFC＝90°AC＝FC，又∵∴∠AFC＝∠CAF，∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF，∴∠OAF+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，故AC是⊙O的切线；过点（2）解：B作BG⊥AD于G，∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5，∴，∵点D是弧BE的中点，∴∠BAD＝45°，∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＝∠BAD＝45°，即BG＝AG．∴2BG2＝AB2＝82，∴又∵，∴故S＝AD•BG＝ABD△＝28（cm2）．8、如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．O的切线；O的径为4．①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．与⊙O交于点F，延长BA到点（1）求证：FG是⊙（2）若⊙（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，∴∠BGF+∠AFG＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，∴∠BGF＝∠AFB，∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，又∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO∴△ABO≌△ACO（SSS），，∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO＝∠ACF，∴AO∥CF，∴＝，∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，∴＝＝3，即CD＝AD，∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，∴△ADB∽△FDC，∴＝，∴AD•CD＝BD•DF，∴AD•CD＝7，即AD2＝7，∴AD＝（取正值）；②∵△ODC为直角三角形，∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，当∠ODC＝90°时，∠DCO不可能等于90°，∵∠ACO＝∠ACF，∴OD＝DF＝2，BD＝6，∴AD＝CD，∴AD•CD＝AD2＝12，∴AD＝2，AC＝4，∴S＝×4×6＝12；ABC△当∠COD＝90°时，∵OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∴MO＝2，∴AM＝4+2，∴S＝×4×（4+2）＝8+8，ABC△∴△ABC的面积为12或8+8．9、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．ABD（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．证明：（1）连接，如图，DO∵∥，ADOC∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，．∴∠COD＝∠COB在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（），SAS∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴⊥，ODCE又∵点在⊙上，DO∴是⊙的切线；CDO（2）设圆的半径为，OR则＝，＝ODROER+1，∵是圆的切线，CDO∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝，OE2∴9+R2＝（R+1），2∴＝4，R∴圆的半径为4；O∠（3）∵＝30°，＝2＝8，ABDABR∴＝4，AD∴扫过的BD图形的面积＝＝16π．AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线做⊙．10、如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，段CE绕点C旋转90°，得到线段，以线段CFEF为直径O（1）请说明点C一定在⊙上的理由；O（2）点在⊙上，M如图2，为⊙的OMCO直径，求证：点M到AD的距离等于线段DE的长；（3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙半径的长；O（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．（1）解：点CO一定在⊙上的理由如下：连接OC，如图1所示：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，∵是⊙的直径，为圆心，EFOO∴＝，OEOF∴＝＝，OCOEOF∴点一定在⊙上；CO∠（2）证明：由旋转的性质得：＝90°，＝，CECFECF∵＝，OEOF∴CO⊥EF，∵为⊙的直径，MCO∴⊥，＝，∠CMEFOCOMMEC＝90°，∴＝，EMCE过点M作MN⊥AD于N，如图2所示：∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，∴∠DEM＝∠DCE，在△MEN和△CED中，，∴△MEN≌△CED（），AAS∴＝，即点M到AD的距离等于线段DE的长；MNDE上，＝（3）解：∵点在矩形ABCD的边AD6，EAD则∴∠D＝90°，设AE＝，x＝6﹣x，DE由（2）得：点M到AD的距离等于线段DE的长，∴＝×x×（6﹣x）＝x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，面积取得最大值，﹣S△AEM∴当x＝3时，△AEM此时，＝6﹣3＝3，DE∵tan∠ACD＝＝，∴＝＝4，CD由勾股定理得：＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，CE2∴＝5，CE由（2）得：⊥，＝，＝90°，CMEFOCOMMEC∠∴∠CEF＝45°，在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，∴⊙O半径的长为；（4）解：当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在，此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°，∴扇形OCF的面积＝＝4π．11、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．解：（1）∵OC⊥DE，∴DC＝EC＝DE＝×2＝，∵弦垂直平分半径，DEOA∴＝＝，OCOAOE在Rt△中，∵＝OEOCOCE2，∴∠E＝30°，∴＝＝1，OCCE∴＝2，OE即⊙O的半径为2；，，，作⊥（2）连结OFBFBEBHDF于H，如图，∵∠DPA＝45°，∴∠DDC＝45°，∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△为等腰直PCD角三角形，∴图中阴影部分的面积＝﹣SSEOF△OEF扇形＝﹣•2•2＝π﹣2；∵＝BCAB﹣AC＝4﹣1＝3，而DC＝，∴＝BD＝2，∵垂直平分，BCDE∴＝＝2，BDBE∵＝＝，BDDEBE∴△为等边三角形，BED∴∠BED＝60°，∴∠BFD＝∠BED＝60°，∵△为等腰直角三角形，PCD∴＝＝，PCDC∴＝OPPC﹣OC＝﹣1，∴＝PB2﹣（﹣1）＝3﹣，在Rt△中，∠PBHBPH＝∠DPC＝45°，∴＝＝＝BHPHPB，在Rt△中，BHF∠＝30°，HBFHF∴＝BH＝•＝，＝，∴＝PFPH+HF＝+∴＝••S＝．△PBF12、如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连AB，AE，AO．∠C＝30°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BO＝CE；（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）（1）解：∵CA为⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；AOCC（2）证明：在Rt△中，∠＝30°，∴＝，OAOC∵OA＝＝，OBOE∴＝OBCE；（3）解：在Rt△中，＝＝AOCAC6，∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．13、如图，已知⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PE切⊙O于点E，过点E作⊥于点，连接．EFABFAE（1）求证：∠PEA＝∠AEF；（2）若AP＝，＝AEPE6．求的长PB；（3）连接交⊙于点，连接，，若∠AOG＝∠PDOGOGFD，＝FDOOD2．求四边形AGDB的面积．（1）证明：连接．OE∵PE切⊙于点，OE∴∠PEO＝90°．∴∠PEA+∠OEA＝90°．∵EF⊥，AB∴∠AGF+∠GAO＝90°．∵OE＝，OA∴∠OEA＝∠OAE，∴∠PEA＝∠AEF．（2）解：∵＝，APAE∴∠EPA＝∠PEA．∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF．∴∠EPA+∠PEF＝90°．∴