2022年四川省成都市邛崃实验中学高三数学理月考试题含解析

2022年四川省成都市邛崃实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2.函数的图象大致是（

）参考答案：D3.已知0＜a1＜a2＜a3，则使得都成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】其他不等式的解法．【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由0＜a1＜a2＜a3确定x的范围【解答】解：因为不等式（1﹣aix）2＜1的解集解集为（0，），又0＜a1＜a2＜a3，则，所以使得都成立的x的取值范围是（0，）；故选B4.平面向量的夹角为等于A. B. C.12 D.参考答案：B【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F2

由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．5.已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．参考答案：B考点：双曲线试题解析：因为双曲线C：的渐近线方程为所以又所以解得：故双曲线C的方程为：。故答案为：B6.（多选题）已知向量，，，设的夹角为，则（

）A B. C. D.参考答案：BD【分析】根据题意，求出的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，，，则，，依次分析选项：对于，，，则不成立，错误；对于，，，则，即，正确；对于，，，不成立，错误；对于，，，则，，，则，则，正确；故选：BD．【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．7.任取k∈[-1，1],直线L:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N两点，则∣MN∣≥

的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：A圆的圆心坐标为，则，解得，，于是有，故

选A．8.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．―1参考答案：A略9.某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知女学生一共抽取了100人，则的值是（

）

A.120

B.200

C.240

D.480参考答案：C10.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为(

)A．134 B．67 C．182 D．108参考答案：B设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，则小正方形的边长为，小正方形的面积，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的展开式中的系数为3，则a=

．参考答案：略12.

参考答案：

答案：解析：表示所围成图形的面积。由得，故表示的曲线是圆心为，半径为的上半圆，故所求的定积分＝.13.已知变量的最大值是

．参考答案：214.过函数（0＜＜1）图象上一点M作切线与轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为

.参考答案：（文）略15.已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是______．参考答案：2【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F（1，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离．【详解】由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得4=2p，p=2，抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0），则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2，故答案为：2．16.设满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为（其中，分别表示不大于x，y的最大整数，例如，），给出下列结论：①点在直线左上方的区域内；②点在直线左下方的区域内；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．参考答案：①③；17.过坐标原点O作曲线的切线l，则曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为______参考答案：.【分析】设切点为，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点可得切线方程，进而由定积分求面积即可.【详解】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知是定义在[－1，1]上的奇函数，且，若，恒成立.（1）判断在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有恒成立，求实数m的取值范围。参考答案：解：（1）设是奇函数由题设知时

，即在[－1，1]上是增函数（2）解法一：由（1）知，在[－1，1]上是增函数，且要，对所有恒成立必成立

恒成立只要最小值大于或等于0.（1）当（2）当恒成立（3）当上是减函数，必，综上知，解法二：令恒成立

只要满足19.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：

古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.7081.3213.8415.0246.635

参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；（Ⅲ）ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由列联表得K2=≈0.6494＜0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．…（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为=3人，“非古文迷”有=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…（Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．…所以随机变量ξ的分布列为ξ123P于是Eξ=1×+2×+3×=．…20.如图，在三棱锥中，，点为边的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．

（2）由（1）可知，在直角三角形中，，，可得，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系．可得，，，，，，，，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得，为平面的一个法向量，设二面角的平面角为，，所以，二面角余弦值为．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．22.自主招生，是高校选拔录取工作改革的重要环节，通过高考自主招生笔试和面试之后，可以得到相应的高考降分政策；某高中高一学生共有1000人，其中城填初中毕业生750名（称为“城填生“），农村初中毕业生250人（称为“农村生“）；为了摸清学生是否愿意参加自主招生，以便安排自主招生培训，拟采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查；（1）试完成下列2×2联表，并分析是否有95%以上的把握说“是否愿意参加自主招生“与生源有关．

愿意参加不愿意参加合计城填生502575农村生101525合计6040100（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“高富帅”完全会答的有3道，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：SKIPIF1＜0，假设解答各题之间没有影响．①对于一道不完全会的题，求“高富帅”得分的均值E（s）；②试求“高富帅”在本次摸底考试中总得分的数学期望．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）①由S的所有可能取值计算对应的概率值即可；②计算对应的分布列与期望值即可．【解答】解：（1）根据题意填写2×2列联表如下：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100计算K2=≈5.556，由于K2＞3.841，所以有95%的把握认为“是否愿意参加自主招生“与生源有关；…（6分）（2）①S的所有可能取值为6，12，18且P（S=6）=，P（S=12）=，P（S=18）=，E（S）=6×+12×+18×=10，即“高富帅”得分的均值10分…（8分）②