2021年安徽省安庆市高河中学高三数学文联考试题含解析

2021年安徽省安庆市高河中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，集合，则集合

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A因为集合，集合，则集合，选A2.函数的零点个数为（）A．0

B．1

C．2

D．3

参考答案：B3.在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A．

B．

C．

D．参考答案：B4.在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积的最大值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的定义域为R可知函数y=f（x）的导函数是常数函数，函数y=f（x）不一定是一次函数．【解答】解：“函数y=f（x）是一次函数”?“函数y=f（x）的导函数是常数函数”，反之取f（x）=2x，（x＞0），f′（x）=2为常数函数，但是f（x）不是一次函数．6.函数,若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.复数表示复平面内的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A略8.某多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.数列{an}满足，则数列{an}的前20项的和为A．100

B．－100

C．－110

D．110参考答案：D10.在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为，事件“”发生的区域的面积为，所以所求概率为，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为

．参考答案：

设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。年龄（岁）3035404550556065……收缩压（水银柱/毫米）110115120125130135

145……舒张压（水银柱/毫米）70737578807385

……参考答案：140，88.13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1，

。参考答案：略14.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．15.已知函数f（x）=（x+2）（x2+ax﹣5）的图象关于点（﹣2，0）中心对称，设关于x的不等式f（x+m）＜f（x）的解集为A，若（﹣5，﹣2）?A，则实数m的取值范围是．参考答案：{3，﹣3}【考点】18：集合的包含关系判断及应用；3O：函数的图象．【分析】根据题意可知f（﹣4）+f（0）=0，由此可知求出a，f（x+m）﹣f（x）＜0等价于3x2+3（m+4）x+m2+6m+3＜0，利用（﹣5，﹣2）?A，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（x+2）（x2+ax﹣5）的图象关于点（﹣2，0）中心对称，∴f（﹣4）+f（0）=0，∴a=4，∴f（x）=（x+2）（x2+4x﹣5）=x3+6x2+3x﹣10，f（x+m）＜f（x）等价于f（x+m）﹣f（x）＜0，f（x+m）﹣f（x）=m[3x2+3（m+4）x+m2+6m+3]若m＞0，f（x+m）﹣f（x）＜0等价于3x2+3（m+4）x+m2+6m+3＜0，由题意3×（﹣5）2﹣15（m+4）+m2+6m+3≤0且3×（﹣2）2﹣6（m+4）+m2+6m+3≤0，∴3≤m≤6且﹣3≤m≤3，∴m=3，同理，m＜0时，m=﹣3，故答案为：{3，﹣3}．【点评】本题考查集合的包含关系，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.设等比数列{an}的公比q=y,前n项和为Sn,则=________.参考答案：63略17.若实数、满足且的最小值为，则实数的值为▲。参考答案：【知识点】线性规划

E5由题得：b＞0，对应的可行域如图：，由图得，当目标函数过B时，z=2x+y有最小值，所以，解得故答案为.【思路点拨】画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=AA1．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明线面平行，只需证明直线与平面内的一条直线平行即可．连接AC与DB交于O，连接OE，AC1∥OE，即可证明AC1∥平面BDE．（2）证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可．连接OA1，可证OA1⊥DB，OE⊥DB，平面A1OE⊥DB．可得A1E⊥DB．利用勾股定理证明A1E⊥EB即可得A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1∥OE，OE?平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，∴平面A1OE⊥DB．可得A1E⊥DB．∵E为CC1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB?平面BDE．BD?平面BDE．EB∩BD=B，∴A1E⊥平面BDE．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的证明．考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象，属于中档题．19.(本小题满分12分)已知函数的图像的一部分如图所示。（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的最值。参考答案：略20.已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）设bn=，求bn的前n和Sn．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简bn=，然后利用错位相减法求和求解即可．【解答】解：（1）证明：当n≥2时，，∴，又a1=4，∴a1﹣2=2，故是以2为首项，3为公差的等差数列，∴，∴．（2），∴=，令，①则，②①﹣②得：，==，∴．21.如图，平面PAD⊥平面ABCD，，四边形ABCD为平行四边形，，M为线段AD的中点，点N满足.（Ⅰ）求证：直线PB∥平面MNC；（Ⅱ）求证：平面MNC⊥平面PAD；（Ⅲ）若平面PAB⊥平面PCD，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值.参考答案：(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)见证明；(Ⅲ)【分析】（Ⅰ）连接，交于点，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接在平行四边形中，因为，所以，又因为，即，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，所以，又因为平面平面于，平面所以平面在平行四边形中，因为，所以以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，则因为平面所以设，则所以所以，又因为所以平面，又因为平面所以平面平面.（Ⅲ）解：因为设为平面的一个法向量则不妨设因为设为平面的一个法向量则不妨设因为平面平面，所以，所以因为所以所以，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解能力，属中档题.22.（12分）已知函数上是增函数。

（I）求整数a的最大值；

（II）令a是（I）中求得的最大整数，若对任意的恒成立，求实数b的取值范围。参考答案：解析：（I）∴要使函数上是增函数则有恒成立…………3分而由此知，满足条件的整数a的最大值为1。

…………6分

（II）由（I）