2020年高等数学基础讲义812章

第八 多元函数微分考试内容概要（一）fzxy的二元函数zf(xyD称为该函数的定义域xy称为自变量z称为应变量.f(xy的全体所构成的集合称为函数f的值域。记为f(D).zf(xy在几何上表示一张空间曲面(xx0)(yy2200(xx0)(yy220f(x)A

Af(xy当(xyx0y0时的极限(x,y)(x0,y0

f(xyA

f(xyA

f(P)注1）这里的极限是要求点(xyD内以任意方式趋近于点(x0y0时，函数f(xy都趋近于同一确定的常数A，否则该极限就不存在. (3)有理运 8.1.1】求极限

xxx0

x0x2y(x,y)(x0,y0

f(x,y)f(x0,y01多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）23DD上必能取得介于最大值与最小值之间的任4zf(xyP0x0y0limf(x0x,y0)f(x0,y0

f(x, limf(x0,y0y)f(x0,y0

yx

或yx

或f(xy fx(x0y0就是一元f(xy0xx0fy(x0y0f(x0yyy0二元函数偏导数的几何意 设M(x0,y0,f(x0,y0))为曲面zf(x,y)上的点M作平面yy0与曲面zf(xy)相交，其交线为平面yy0上的曲线0zf(x,y0

zf(xy0f(xyMx轴的斜率，即yy，即 同样，过点M作平面xx0与曲面zf(xy)相交，其交线为平面xx0上的曲线5zf(xyDzz f(xy的二阶偏导数 x

或fxx y

fxy z z xy yy 2 2称

2 1zf(xyxyyxD内连续，446（全微分）zf(xy在点(xyzf(xxyyf(xyzAxBy其中A，B与x，y无关， ，则称函数zf(x,y)在点(x,y)处可微，而AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dzAxf(xyD内的每一点(xyf(xyD内可微分2（全微分存在的必要条件）zf(xy在点(xyzdzzdxzd z3（全微分存在的充分条件）如果zf(xyxy在点(xy处连zf(x,y)在点(x,y处可微.常考题型与典型例题 (x,y)8.1.3（19971）f(xyx2 (x,y)

在点(0,0)处（ 【例8.1.4（1994年，1,2）f(xy)在点(x0y0f0(x0y0fy(x0y0f(xy在该点连续的（（A）充分而非必要条 【D

f(xy满足limf(xy2xy20x2(yx2(y 2dxdyf(xy)xy在(0,0) (x,y)f(xy)x2 在(0,0) f(x,y)

(x,y) (x,y)(x,y)

在(0,0)

(x,y)f(x,y)

x2

在(0,0) (x,y)第二节考试内容概要4设函数uu(xyvv(xy在点(xyxy的偏导数，函数zf(u,v在对应点(uvzf[u(x,y),v(x,y在点(x,y)zzuzv zzuz u v u vzf(u,v、uu(xy及vv(xyzf[u(xy),v(xydzzdxzdyzduzd F(xy0yyf(xF(xyz0zz(xF(xyz)在点P(x0y0z0)的某一邻域内有连续偏导数,且F(x0y0z00,Fz(x0y0z00F(xyz0在点(x0y0z0zf(xy zFx F1(x,y,u,v) F(x,y,u, 2

确定的隐函数uu(xyvv(xy（仅数一要求

常考题型与典型例题 01t2dt， Fysinxy 1x2

2F

，故

Fysin 1x2

2sin，Fx(x,2)12sin Fxx(0,2)

2

2

x0x(1

x0x(14xx8.2.2（20113）z1yy

【(12ln2)(dxdy【例8.2.3（2007年1）设f(u,v)为二元可微函数，zf(xy,yx [yxy1f1yxlnyf2,d2.8.2.4】(20171,2)f(uv2阶连续导数y,d2.

f

dx

d28.2.5（20092）zf(xyxyxyfd22【解】zffyfzffxf dzzdxzdy(ffyf)dx(ffxf)d2z

y( xf338.2.6】(20111,2)zf(xyyg(xf

g(1)

1】zf(xy,yg(xzyfyg(x)f 2z g(x)f12 g(x) yg g(x)f222 f(1,1)22】z

x1f(xy,yg(x

1 2zyfyg(x)f 2令y1 21

1 1 2 2 2 (4zecosy)e f(00,f(0)0f(u【解】令excosyuz

f(u)excos f(u)esin 2zf(u)e2xcos2yf(u)excos2z

f(u)e2xsin2yf(u)excos2 2 2x2y24zef(u)4f(u)u

f(u)4f(u)以上方程对应的齐次方程的特征方程为r240,特征根为r2,f(u)Ce2uC1

fauba1,b4 f(u)Ce2uCe2u1 f(0)0,f(0)0得

1

1f(u)1(e2ue2u4u)8.2.8（20152，3）zz(xy由方程ex2y3zxyz1

1】x0,y0代入ex2y3zxyz1中得e3z1,z方程ex2y3zxyz1ex2y3z(dx2dy3dz)yzdxxzdyxydzx0y0,z0

dx2dy3dz1(dx 2】x0,y0代入ex2y3zxyz1中得e3z1,zdz(0,0)zx(0,0)dxzy在ex2y3zxyz1y0ex3z1,xex3z(13zx)z(0,0) e2y3z(23zy)z(0,0) 1

(dx3

u 8.2.9（19884）已知uexyxyxy【解】等式ueuxyx(1eu)uu

1

1yx1euy2u

(1eu)euu

1

8.2.10（20101,2）zz(xyFyz0F xxF0xzyz（ （C） （D）yFz 1 x【解 x ,y x xyFz yxzyz

x x

1x x故应选3d d

exyxy 和exxzsintd duffdyfdzd yd zd由exyxy2x

exyyxdyyxdy dx dxd

即 .d 又由exxzsintdtx sin(xz)1dz

d ex(xe x dx

1 d

sin(xdufyfex(xz)d x

sin(xz)z du dx dy 等式exyxy2

exy(ydxxdy)(ydxxdy)dyyx等式exxzsintdt exdxsin(xz)(dx 即dzx

ex(xz)sin(x

du[

y

x

sin(xz) dufy ex(xz)d xy1sin(xz)z 8.2.12（20083）zz(xyx2y2z(xy所确定的函数，其中具有二阶导数，且 （I）求dz；（II）记u(x,y) zz，求u xy y 1（I）F(xyz)x2y2z(xyz xF yF, z2x z2y 1 1dzzdxzdy [(2x)dx(2y)d 12（II）由于u(xy12u 1z2(2x1) (1)2 x 2】（I）x2y2z(xyz2xdx2ydydz(dxdyd解出dz

dz2xdx2yd1 1第三节考试内容概要7zf(xyP(x0y0P(x,yf(xy)f(x0y0)（f(xyf(x0y0定理5（极值的必要条件）zf(xy在点(x0y0存在偏导数，且(x0y0f(xy 6（极值的充分条件）zf(xyP0x0y0的某邻域内有二阶连续偏导fx(x0y00fy(x0y00.记 ACB20，则(x0y0f(xyA0，则(x0y0f(xyA0，则(x0y0f(xyACB20，则(x0y0f(xyACB20，则(x0y0f(xyf(xy的极zf(xyf(xyP1,LPk【注】1）zf(xy在偏导数不存在的点也可能取到极值（f(x,y) 2）zf(xy可能取得极值的点就两种，驻点和偏导数不存在的点.zf(xy在条件(xy)0（1）构造日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y) fx(x,y)x(x, f(x, (x, x,yxy及，则其中(xyf(xy在条件(xy0n元函数在m个约束条件下的极值问题，如求uf(xyz在条件(x,y,z)0，(x,y,z)0下的极值，可构造日函数F(x,y,z,,)f fx(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) f(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) (x,y,z)xyz及，则其中(xyz常考题型与典型例题8.3.1（20033）f(xy在点(x0y0取得极小值，则下列结论正确的f(x0yyy0f(x0yyy0f(x0yyy0f(x0yyy0

f(x,y)的全微分为dzxdxydy则点 （A）不是f(x,y)的连续点 （B）不是f(x,y)的极值点（C）是f(x,y)的极大值点 （D）是f(x,y)的极小值点【1zf(x8.3.3（20173）zxy(3xy的极值点是（

【D （B） （C） （D）zyzxy(32xy)zy【解】由

x(32yx0(0,0),(0,3),(3,0),zxx2y,zyy2x,zxy32x2y.在(0,0)点 ACB290,无极值;在(0,3)点 ACB290,无极值;在(3,0) ACB290,无极值在(1,1)点 ACB230,有极值.8.3.4（20091,3）f(xy)x22y2ylny f(x,y)2x(2y2)，f(x,y)2x2ylnyxfx(x,y)

1 令f(xy0解得唯一驻点0e. Af0,12(2y2 221xx e

1 2 e

eBf0,14xyxy

1 e

0,eCf0,1 2x 1

0,1 eACB22e210A0f0,1f(xy f0,11

e2

e e 8.3.5（20082）求函数ux2y2z2zx2y2xyz4下【解】作日函F(x,y,z,,)x2y2z2(x2y2z)(xyzFx2x2xF2y2y Fz2z Fx2 6.【例8.3.6（2005年2）zf(xy)的全微分dz2xdx2ydy，并且

【解1】由dz2xdx2ydy可 zf(x,y)x2y2再由f(1,1)2，得C2， zf(x,y)x2y2 x2x0,y2y0解得驻点(0,0)x24

1z

(4

z5x2 (1x 其最大值为 3最小值为 2.再与f(0,0)2比较可知f(x,y)在椭圆域 x x 日乘数法求此函数在椭圆x2y4Lx2y22x2y21

1上的极值 L

2y

y 1 又f(0,2)2,f(0,2)2,f(1,0)3,f(1,0)3，再与f(0,0)2比较，得f(xyD3，最小值为23】同解法一，得驻点(0,0.x2y24

cost,

2sin zf(x,y)x2y22cos2t4sin2t35sin2fmax3fmin第九 二重积考试内容概要义1设函数z 将区域D任意分成n个小闭区域1，2，L，ni表示第i个小区域,也表示它的面积.i上任取一点(i,innn大直径，如果limf(xiyi)if(xyD上的0i

f(x,y)dlimnf(x,y)i 0iDf(xyd是一个数.f(xy0DDzf(xyf(xy0时，二重积分的值为负值，其绝对值若Df(xyg(xy f(x,y)dg(x,y)d Dmf(xyMDmf(x,y)dMDDDDD

f(x,y)

|f(x,y)|dDD

f(x,y)d

先y后 f(x,y)d

2(

f(x,b 1(bD先x后 f(x,y)d

2(y

f(x,d 1(ydD 2(先后 f(x,y)dd()f(cos,sin x2 ),f(),x2 x2y2R2;r2x2y2R2;x2y22ax;x2y22f(x,y)d f(xy)关于x为偶函数.f(x,y)dDx0 f(xy)关于x为奇函数 f(xy)关于y为偶函数f(x,y)dDy f(xy)关于y为奇函数 f(x,y)df(y, 常考题型与典型例题 2 f(x,y)dy的次 4【例9.2（2009年2）设函数f(x,y)连续，则1dxxf(x,y)dy1 f(x,y)dx 4 4（A）1 f(x, （B）1 f(x, 4 （C）1 f(x, （D）1dyyf(x,【C

2

（A）0dy f(x, （B）0 （C）0dx0f(x, f(x, 1tan

【D【9.4】(20172)积分0

dx x200【9.5200

x2y2

9【例9.6（2008年3）设D(x,y)x2y21，则(x2y)dxdy D 4（1,1（-D形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xycosxsiny)dxdy等于 D2cosxsin（C）4(xycosxsinDD

2y2xydxdyDyxy1,x0 【解】原式1dy

y2xyd11

3y(yx)2dy

2

y2dy20 3 0DI(x1)2dxdy.DD【解】I(x22x1)dxdDD2xdxdyDI (x21)dxdy22

0

D D82sin4cos2d082sin4(1sin2)d08(31531)542 642 D【9.10（20052,3）x2y21dDDxy0x1,0y1}|x2y21|d(1x2y2) (x2y21)d(1x2y2)[(x2y21)d(x2y21)d 2(1x2y2)d(x2y21)d 2(1x2y2)dd1(12)d21 1 (x2y21)d1dx1(x2y21)d D1x22dx 3 |x2y21|d1 x2y2 xxx x2y2xD

dxdy

ysin( x2y2)dxdyxyDxD

x2y2)dxdy

y

x2y22 2D212D

x Dx2y2D

x12d22 12dcos()4 x x2y2

dxdy2

D xD

0cos 由于2 d2 0cos 0cos cos

d0cos 32sin()d1(cos1sin)3 3D dxdyDkkIkyx)dxdy(k1,2,3,4则（（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I4 无穷级考试内容概要unu1u2Lunn 如果极限limsn不存在，则称级数un发散 n n

1

(a

1

)Lln(1 ln2 3Llnn1n ln(23Ln1ln(n 由于limsnlimln(n1)

1n则级数ln(1 n

（2）

aaqaq2Laqn1

qqq1lims

an

1q1limsnq1limsnlimna 当q1时，snaaaL a

若级数uns则级数kun 若un和vns,，则(unvns 【注】1）若unvn发散，则(unvn 2）若un和vn都发散，则(unvn 5)(级数收敛的必要条件)若级数un收敛，则limun0 【注】1）若limun0，则级数un 2）若limun0，则级数un un,un0基本定理un收敛Sn比较判别法：设unvn vn收敛un un发散vn

unl(0l ①若0l,则un与vn ②若l0,则vn收敛unun发散vn ③若l,则vn发散unun收敛vn 比较的基准.最常用的是p级数和等比级数.1.p1p1n1aqnaqq1q1比值法:若

, n

若limn

,则

不一定

,un0n (2)limu0n (1)n1un收敛

0是级数(1)n1u

1错级数n1

n(1n2 若级数un收敛，则un必收敛，此时称级数un 若级数un收敛，但un发散，此时称级数un 绝对收敛的级数一定收敛,即|un|收敛un un|un un|un2即:un条件收敛 和 2

常考题型与典型例题10.1.2（20153）下列级数中发散的是() 3（A）n3

nnn(1)n

ln

nnn （A）若aa,则(1)n1a（B）若(1)n1a收敛,则aa n

n若ap1,使limnpan

p1,使limnan存在,则an

【例10.1.4（2009年1）设有两个数列{an},{bn}，若liman0，则 （A）当bnanbn收敛.（B）当bnanbn （C）当ba2b2收敛.（D）当ba2b2 n

n

n 若un收敛，则(u2n1u2n收敛 若(u2n1u2n收敛，则un收敛 若un收敛，则(u2n1u2n收敛 若(u2n1u2n收敛，则un收敛 幂级考试内容概要1形如axnaaxax2Laxnn

或者a(xx)naa(xxLa(xx)nn

n若anxnxx0(x00)处收敛，则当|x||x0|n

xn n若anxnxx0处发散,则当|x||x0|n

xn 定理2幂级 anxn的收敛性有且仅有以下三种可（1）对任何x(,都收敛x0处收敛RxR时绝对收敛,xR时发散22R称为幂级数anxn的收敛半径.开区间(RR称为它的 xR时anxn的收敛性，可得出该级数收敛点的全体，称之为敛域【注】若幂级数

axnxxx必为该幂级数收敛区间(R 3如果

R14如果limn|a|R 设幂级数axnR,bxnR n

加法：axnbxn(ab)xn，x n

减法：axnbxn(ab)xn，x n

乘法：(axnbxnnabn0(ab

(ababab)x2ab0 0 1 0 1 2(aba Lab)xn x(R,0 1n nan 除法 cxn bnxn n0 其中系数c（n0,1,2L）由(bxncxn)ax

nn设幂级 ))S(x)axn(axn)

na

)xS(x)dx

xa x

anxdx

0 n0 n0n1f(x在区间(x0Rx0Rf(x)an(xx0xx0Rx0Rf(x在区间(x0Rx0R上能展开为xx0的幂级数.f(x在区间(x0Rx0Rxx0的幂级数，那么，f(x)在区间(x0R,x0R)上任意阶可导.此时有两个问题1f(x在区间(x0Rx0Rxx0f(x)a(xx f(x在区间(x0Rx0Ran

f(n)(x0

(n2f(xxx0f(n)(x 0(xx0 为f(x)在xx0处的级数 级数

f(n)

xn称为函数f(x)的林级数f(n)(x 定理2设f(x)在xx0处任意阶可导,则 0(xx0)在(x0R,x0 f(x)limR(x)0

(n

(xx0

f(xx0nf(k)(x f(x) 0(xx0)Rn 11

1xx2Lxn (1x（2）ex1x

x2Lxn

(x（3）sinxxx3L(1)n1x2n1 (x (2ncosx1

x2

(xxln(1x)x x2

n

(1x(1x)1x(1)x2L(1)L(n1)xn (1x 第一步求出f(x)在x处的各阶导数f(n)(x),并写出f(x)在x

f(n)(x f(x)~00

0(xx0第二步考查limRn(x)

f(n1)()(x

)n10 n(n式（如ex,sinx);有了一些基本展开式后，主要用间接展开法.常考题型与典型例题

en(1)nx的收敛半径 1【e 2n【例10.2.2（1995年1）幂级数2n(3)n 的收敛半径R

n13n(2)n收敛性

13【解】

[3(2)

3 3

(n

1

n

3n(2)n

3 x33n2)nn2n，且nx3处发散 n x33n2)nn

3 n幂级数an(x3)的收敛域为 n3【例10.2.5（2015年1）若级数an条件收敛，则x3

x3nan(x1)n 【解】由级数a条件收敛可知幂级数a(x1)nx2x2 n

an(x1)n的收敛区间的端点，故其收敛半径为1.由幂级数的性质可知幂级数nnan(x1)的收敛半径也为n3333

11,311.则x x10.2.6（20061）f(x2xx2x的幂级数 【解】因 x 2x

31 2x 1

x

,x22 212

n02n所 x2x

1 2x (1)n1 x

2n13n0 1【例10.2.7（2007年3）将函数f(x)x23x4展开成x1的幂级数，并 1 1【解】因为 x23x 5x x1 1xx4(x1)3 x133

x(2,4)1 n0 3n0 1 xn0x1

(x1)2

21

x1222

11(1)n xx23x

n0

2n1(x1)10.2.8】f(x)ln(x2xx1处展开为幂级数(1)n1(11)(xn【ln2n

,x1110.2.9】f(x)sinxx处展开为幂级数4f(x)

(x)]

2[sin(x)cos(x (1)n1(x (1)n(x 2 x (2n 4n【4n

x1】10.2.11】求幂级数nxnx【(1,1(1x)2x10.2.12（2017年1）幂级数

(1,1)内的和函数S(x) S(x)

(1)n1nxn1((1)n1xn)

x 1x (1

1,R1,x1时原级数显然发散，则其收敛域为 (n1)(n3)xn(n2)(n1)xn(n

xn2xn1

1x (x1) 1 3

1x

1xx n1n(nnn

ln(1

x

(1)n1【例10.2.15（2010年1）求幂级数2n1 【解】由于lim

lim2n11n

n2n当x1时，原级数为2n1， 收敛域为 2n设S(x)2n1 (1x1)S(x)

(1)n1x2n2 1xS(00S(x01t2dtarctanx(1)n12n1 xS(x)xarctanx,xn第三节考试内容概要f(x是周期为2的周期函数，且在[, f(x)cos n0,1,2

f(x)sin n1,2为f(x)的系数，称级0 (acosnx0

n n为f(x)以2为周期的级数.记f(x)~a0

(ancosnxbnsin（二）收敛定理（雷f(x) S(x)f(x) xf(xS(x)

f(x)f(x)

xf(xS(x)

f(())f()

x（三）周期为2 f(x)cos n0,1,2

f(x)sin n1,2（1）f(xan n0,1,2b f(x)sin n1,2 （2）f(xa f(x)cos n0,1,2 bn

n1,2an n0,1,2b f(x)sin n1,2 a

f(x)cos n0,1,2 bn（四）周期为2l

n1,2a1lf(x)cosnx n0,1,2l lb

f(x)

n1,2 l f(xan n0,1,2b lf(x)sinnx n1,2 l f(xa lf(x)cosnx n0,1,2 l bn n1,2在[0,l上展为正弦或展为余弦.an n0,1,2b lf(x)sinnx n1,2 l a

f(x)

n0,1,2 l bn n1,2常考题型与典型例题 3f(x)3x

1x0x32则f(x)的（Fourier）级数在x1处收敛3210.3.2（19891）f(xx2,0x1S(x)bnsinnx,x1其 bn20f(x)sinnxdx,n1则S1等于 2 【例10.3.3（1993年1）设函数f(x)xx2(x) 0 (acosnx0

n n 【23【例10.3.4（1991年1）将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的n数，并由此求级数2的和n【解】f(x)2x(1x11a020(2x)dx1

2(cosn1a2(2x)cosnxdx 1

xdx

n

20xcos

bn0,n]2x52(cosn

cosnx n

(2n2x0252

4

，从而

2

(2n

(2n 8 1

， (2n

(2n

4

(2n 6 10.3.5（19951）f(xx10x2)4的余弦级数22【解】a0 (x1)dx22 an20(x1)cos2dxn0(x1)dsin n0sin2 [(1)n1]

n

(kn

(2k1)22

n2kf(x)8

x2n1(2n 第一 向量代考试内容概要代数表示:abaxbxaybyazbz

abba(bc)abaa求模:|a求夹角:cos

a|a||b

abab ab是一向量.模:|ab||a||b|sin.方向:ijk2)代数表示:abaz3)ab=(b

a(bc)=ab+ac求同时垂直于a和b的向量:ab求以a和bS|ab|.iii)判定两向量平行:abab0.混合积:(abc)(ab

(abc)

bz(abc)(bca)(cab)交换变号:(abc)(acb)V平行六=|(abc)|判定三向量共面:abc共面abc常考题型与典型例题【例11.1.1】(1995年)设(ab)c2,则[(ab)(bc)](ca) 【解】[(ab(bc)](c[abacbbbc](c(ab)c(ab)a(ac)c(ac)a(bc)c(bc)(ab)c(bc)2(ab)c第二节考试内容概要一般式：AxByCzD n{A,B,点法式:A(xx0Byy0C(zz00

xyz

A1xB1yC1zD1AxByCzD 对称式:xx0yy0z xx0lt,yy0mt,zz0点(x0y0z0AxByCyD0dAx0By0Cz0A2B2C点

,

,

xx1l

zz1nd(x1x0,y1y0,z1z0)(l,m,l2m2常考题型与典型例题

x y z【例11.2.1（1987年1）与两直线y1t, z2

【xyz0【注】所求平面的法线向量nnxty3tzt 【x3yz40L:x1y2z3 L:x2y1z 【x3yz20【注】x1y5z

xy 的夹角为

L22yz3L16

4

3

2【注】cosss|s||s|1，. 2xy10z3L:x2xy10z3及平面4x2yz20L（A）平行 （B）在 （D）与斜 【2x2y3z0【注】所求平面的法线向量n4,1,2}n6,3,2}n 第三节考试内容概要1。曲面方 F(x,y,z) 或zf(x,xyzF(x,y,z)G(x,y,z)f(y,z)Lyoz平面上一条曲线，其方程是

xf(

x2z2) f(x2y2,z)f(x,y)准线为 z

z轴的柱面方程为f(xy0F(x,y,z)准线为G(x,y,z)

G(x,y,z)0联立消去z所得的二元方 H(x,y)

x2y2

z x

z

x2y2

x2y2z2R2 x2y2

x2y2z2

1

x

z；特别的：旋转抛物面zx2y22 2（马鞍面

z F(x,y,z)曲线G(x,y,z)

zxoyH(xy0.曲线xoy面上的投影曲线方程为H(x,y) z 常考题型与典型例题x2y22z211.3.1】求以曲线

zx2 【解】zx2y2x2y22z21x2y22(x2y221x2y21为所要求的柱面22x2y2 zz

x0yz1）x2x2y2z21y2(x2z2y21x2z2）绕y轴旋转面方程： y2，即x2z2y4；绕z旋转面方程：zyx2zx2y2z2a2(a

x2y2 【解】xoyx2y2axxozz2axa2,(0xa第四节考试内容概要曲面F(x,y,z) 曲面zf(x, 法向量:n(fx,fy,1)

yy(t x(ty(tz(t zF(x,y,z)曲线G(x,y,z)0 切向量

τn1常考题型与典型例题（A）xyz （B）xyz（C）x2yz （D）xyz 3x22y2【例11.4.2（1993年）z

y旋转一周得到的旋转面在点(0,3, 处的指向外侧的单位法向量 【 )11.4.3（2003）zx2y22x4yz0 【2x4yz511.4.4xtsinty1costz4

在点t

x121

y1 1 xy 2z402xyzxyz【例11.4.5】求曲线 xyz

x1

y20

z.3 xz0考试内容概要

f(x,y,z)dvlim

f(k,k,k)vk d0k性质z且穿过闭区域内部的直线与Sxoy面上f(x,y,z)dv

z2(x,y

f(x,y,设空间区域(xyzxyDczcz f(x,y,z)dvdzf(x,y,z zxcosysin

002

zdv

z

dvr2xrsincosyrsinsin

0r0

zrdv

02f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2 若积分域关于xoy坐标面对称,f(xyz)关于z有奇偶性,则 f(xyz)关于z是偶函数f(x,y,z)dvDz f(xyz)关于z是奇函数常考题型与典型例题1x2y2z2R2z 及2x2y2z2R2x0,y0,z则 （A）xdv4xd （B）ydv4 （C）zdv4zd （D）xyzdv4 12.1.2（2009）设xyz|x2y2z21}z2dxdydz

412.1.3（2015）设xyz1(x2y3z)dxdydz xdxdydzzdxdydz,2ydxdydz (x2y3z)dxdydz

60dx0 31dx1x(1xy)2 1(1x)3dx (x2y3z)dxdydz 1

61z1(1z)2 4【例12.1.4（1989年）计算三重积分(xz)dv，其中是由曲面z z 【解】由yOzxxxdv

zdv d4drcosr2sindr2

sin24

所 (xz)dv8第二节考试内容概要

f(x,y)dslimf(,

f(x,y)ds f(x, L( x（1)Ly

，tf(x,y)ds f(x(t), x2(t)y2(t)dt （2)L:yy(x)axbf(x,y)ds bf(x, 1y2 （3)L() f(x,y)ds f(cos,sin 22 f(x,y)ds2L

f(x,y)ds,

当fx,y)关于x为偶函数当fx,y)关于x为奇函数

f(x,

当fx,y)关于y为偶函数

当fx,y)关于y为奇函数yx对称,则Lf(x,y)dsLfy Lf(x)dsLf(对空间线积分Lf(xyz)ds若曲线L的方程为：xx(t),yy(t),z (t则

f(x,y,z)ds f(x(t),y(t), x2(t)y2(t)z2

P(x,y)dxQ(x,y)dylim[P(,)xQ(,)y

PdxQdy Pdx L(

x和tP(xy),Q(xyLPdxQdy[P(x(t),y(t))x(t)Q(x(t),y(t))

PdxQdyxy D定理P(xy，Q(xyD上有一阶连续偏导数，则以下四条线积分LPdxQdyPQ

(x,y) P(x,y)dxQ(x,y)dydF(x,(x2,y2

PdxQdy

P(x,y

Q(x,(x,y 1 (x,yy1x2或x2y2PdxQdyy2Q(x,y)dy(x,yy1x2

1 PdxQdydF(xyF(xyPdxQdy(x2,y2PdxQdyF(x,y)F(x,y(x,y 1 PdxQdy Lxx(tyy(tzz(t),t[给出，其起点和终点分别对应参数t和tP,QRL上连续，则LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,{P[x(t),y(t),z(t)]x(t)Q[x(t),y(t),z(t)]y(t)R[x(t),y(t),与P,QR在LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,PQR R P yzdydzzxdzdxx 常考题型与典型例题11(x2y2)ds Lxds LLyds

【【2x y (2xy3x24y2)ds L

【12a【例12.2.3（2009年）已知曲线L:yx2(0x 2)，则xd 12.2.4（2004）Lx2y22xdy2ydx的值 【3 点为(1,0)，则曲线积分 xydxx2dy L

LL1L2L1y1x(1x0)L2y1x(0x1)xydxx2dy0[x(1x)x2]dx0(2x2x)dx1 xydxx2dy x)x2]dx1(x2x2)dx1 xydxx2dyL (exsinyb(xy))dx(excosyax)dy，其中a,bL正的常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y 到点O(0,0)的弧【解】添加从点O(0,0)y0A(2a,0)L1I (exsinyb(xy))dx(excosyax)d(exsinyb(xy))dx(excosyax)d

I1(ba)da2(b .I22a(bx)dx0 2从而II1I2 a(ba)2ab22ab2a2 12.2.7（2008计算曲线积分sin2xdx2(x21)ydy，其中LysinL上从点(0,0)到点(,0的一段

sin2xdx2(x21)ydy [sin2x2(x21)sinxcosx]d x2dsin2xx2sinx2xsin2xd (2)sin2xd2 1 22sin2xdx(2 2 负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lxzdxxdy

ydz y21】x2y21yz0xcosysinzsin

(0t2则

zdxydz 2[sin2tsint0 42sin2tdt4

2Lzdxydz(10)dydz(10)dzdx(0其中yz0x2y21Lzdxydzdydzdzdx dzdx

yz0zy代入积分LzdxydzLzdxydzC(ydx dxdyx2y2

（其中Cx2y21沿逆时针方向 第三节考试内容概要定义f(xyz)dSlimf(,, 0i性质f(x,y,z)dSf(x,y, 设曲面:zz(x,y(x,y f(x,y,z)dS f[x,y,z(x,y)]1z2z2 xxyzyy(zx给出，也可类似地把对面积的面积分化为相应若曲面xoy 当fxyz)关于z为偶函数

当fxyz)关于z为奇函数定义IP(xyz)dydzQ(xyz)dzdxR(xy 0

i 0

iR(x,y,z)dxdylim

R(i,i,i)(S 0i

i性质PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdx设有向曲面:zz(x,

(x,yDxyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, 设有向曲面:xx(y, (y,z)Dyz,P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y, 设有向曲面:yy(z, (z,x)Dzx,Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x), 若有向曲面y轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，上2)在 RPdydzQdzdxRdxdyxyz外 外 (PcosQcosRcos)dS(PdydzQdzdx 常考题型与典型例题12.3.1（2000）Sx2y2z2a2z0)S1S在第一卦限中的部分，则有（）.（A）xdS4xd （B）ydS4xd （C）zdS4xd （D）xyzdS4xyzd 【例12.3.2（201