湖南省邵阳市中山中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析

湖南省邵阳市中山中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b＜a，则a变为16﹣12=4，由a＜b，则，b=12﹣4=8，由a＜b，则，b=8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：C．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M，N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（▲）

A.若，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

B.若，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

C.若，则点Q的轨迹为椭圆的一部分

D.若，则点Q的轨迹为椭圆的一部分参考答案：D由题意结合最小角定理可知，若直线与所成角的最小值为，则原问题等价于：已知圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥的顶点为点，底面与平面平行，求圆锥被平面截得的平面何时为双曲线.由圆锥的特征结合平面与平面所成角的平面角为可知：当时截面为双曲线的一部分；当时截面为抛物线的一部分；当时截面为椭圆的一部分.3.下列所示的四幅图中,可表示为的图像的只可能是（

）参考答案：D略4.已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x?N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．5.设，满足约束条件的是最大值为，则的最小值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l：与曲线C：相交，则k的取值范围是（

）。A

B

C

D

但参考答案：A略7.设,曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则为（

）A、-3

B、-8

C、-16

D、-24命题意图：中等题。考核导数的几何意义。参考答案：C8.函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，再由导函数小于0求得函数的单调减区间．【解答】解：由y=x2﹣2lnx，得（x＞0）．由y′＜0，得＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1．∵x＞0，∴函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，是基础题．9.设全集，集合，，则等于（

）A．B．C．D．参考答案：D略10.执行如图所示的程序框图，

如果输入，，那么输出的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知b=1，c=，∠C=120°，则a=

．参考答案：1【考点】余弦定理．【分析】根据题意，由余弦定理可得，﹣=，变形可得a2+a﹣2=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，b=1，c=，∠C=120°，由余弦定理cosC=可得，﹣=，即a2+a﹣2=0，解可得：a=1或a=﹣2（舍），即a=1，故答案为：1．12.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是________________

参考答案：13.计算定积分___________。参考答案：略14.一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

．

参考答案：15.已知i是虚数单位，若复数（1+ai）（2﹣i）是纯虚数（a∈R），则复数a+i的共轭复数为

．参考答案：-2﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，则答案可求．【解答】解：∵（1+ai）（2﹣i）=（a+2）+（2a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a=﹣2．∴a+i=﹣2+i，其共轭复数为﹣2﹣i．故答案为：﹣2﹣i．16.已知向量，若，则______；若则______．参考答案：2

17.一个袋中装有6个红球和4个白球（这10个球各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】首先第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，分别求出P（A），P（AB），利用条件概率公式求值．【解答】解：设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P（A）=，P（AB）=．∴P（B|A）=．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数且，若函数的图象过点(2,24)．(1)求a的值及函数的零点；(2)求的解集．参考答案：（1）a=3

,零点为0；（2）[1,+∞).【分析】（1）将点代入函数，可求得a的值，直接求f（x）=0的根，即得f（x）的零点；（2）根据函数y=3u-3，u=x+1是增函数，可知是增函数，根据函数的单调性，求解满足不等式得x的解集.【详解】因为函数且，图象过点，所以，即，得．函数，得，．所以函数的零点是0．由得，即，所以．则的解集为．【点睛】本题考查了求函数的零点问题，考查了与指数函数有关的不等式的解法，涉及了指数函数的单调性和简单的复合函数的单调性；复合函数的单调性满足“同增异减”原则，若指数不等式的类型为，则当时，，当时，.19.如图，在四棱锥中，，，且DB平分，E为PC的中点，,（Ⅰ）证明

（Ⅱ）证明（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

参考答案：（Ⅰ）设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又由题设，E为PC的中点，故,又,所以（Ⅱ）因为，，所以由（Ⅰ）知，,故(Ⅲ)由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。略20.（本小题满分16分）设函数(是自然对数的底数)．(1)判断函数零点的个数，并说明理由；(2)设数列满足：且；①求证：；②比较与的大小．参考答案：解：(1)，令=0，.当时，<0，在单调递减；当时，>0，在单调递增.故.令，函数，因为<0，所以函数在单调递减，故，又，故，从而有两个零点．…5分(2)①因为，即，所以．下面用数学归纳法证明．当时，成立．假设当时，，则，故，从而，则，故当时不等式成立．从而对．

…….……11分②因为，考虑函数．因为，所以在（0，1）上是增函数，故，从而，即．……..…16分21.（满分13分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190.195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求第七组的频数。（2）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少；参考答案：（1）由条形图得第七组频率为1－（0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3）=0.06.3分0.06×50=3．

……………5分

∴第七组的人数为3人．

…………………6分（2）由条形图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82

………7分后三组频率为1－0.82=0.18．

………11分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144（人）

……………13分22.如图所示，四棱锥P

ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点，二面角PADB为60°．（1）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90?，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接PE，BE，由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，推导出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．（2）连接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解答：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90?，即B