2022年北京爱迪学校高三数学理模拟试卷含解析

2022年北京爱迪学校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知b＞0，直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x﹣b2y﹣1=O互相垂直，则ab的最小值等于（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B考点： 两条直线垂直的判定．专题： 计算题．分析： 由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a，b关系，然后求出ab的最小值．解答： 解：b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线（b2+1）x+ay+2=O与直线x一b2y一1=O互相垂直，所以（b2+1）﹣ab2=0，ab=b+≥2故选B点评： 本题考查两条直线垂直的判定，考查计算推理能力，是基础题．2.函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（

）A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)参考答案：C【分析】显然函数在区间(1,2)内连续,由f(x)的一个零点在区间(1,2)内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.3.数列中，，是方程的两个根，则数列的前项和

A、

B、

C、

D、

参考答案：D4.已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩?RB=（）A．{1，5，7} B．{3，5，7} C．{1，3，9} D．{1，2，3}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】A∩CNB中的元素是属于集合A但不属于集合B的所有的自然数．【解答】解：∵A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，∴A∩CNB={1，5，7}．故选A．5.若，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】两角和与差的余弦函数．C5

【答案解析】C

解析：∵若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，∴sin（+α）=，sin（﹣）=，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=）=；故选C．【思路点拨】观察已知角与所求角之间的关系得到α+=（+α）﹣（﹣），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答．6.已知a=log36，b=1+3，c=（）﹣1则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log36=1+log32，b=1+3=1+，c=（）﹣1=．又log32=＞，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.函数的图象为C：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；以上三个论断中，正确论断的个数是（

）

2 3参考答案：C略9.已知平面向量a，b满足a与b的夹角为，则“m=1”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是▲。

参考答案：略12.设的值为_________。参考答案：略13.已知方程+－=0有两个不等实根和，那么过点的直线与圆的位置关系是________．参考答案：相切略14.设，则______．参考答案：8【分析】分别令和，得到两式，两式相加，即可求出结果.【详解】由题意，令得，令得，两式相加得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查二项式定理，用赋值法处理即可，属于常考题型.15.理：如图，在四棱锥中，已知底面，，底面是正方形，与底面所成角的大小为，则该四棱锥的体积是

.参考答案：16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的斜率

.参考答案：17.已知实数x,y满足，则的取值范围为___________________.参考答案：【分析】作出可行域，由得，平移直线，数形结合可得的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示由得，则为直线在轴上的截距.平移直线，当直线过点时，z有最小值0.当直线过点时，z有最大值.解方程组得，即点，.故的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB1A1C的体积，即可求V1：V2．【解答】（1）证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1．因为A1B1是底面圆的直径，所以PA1⊥PB1，因为PB1∩BB1=B1，PB1?平面PBB1，BB1?平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1．（2）解：因为AC⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB2=BC2+AC2=2AC2．所以半圆柱的体积V1=（AB）2π?AA1=AC2?AA1．多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB1A1的距离，设这个高为h，在Rt△ABC中，AB?h=AC?BC，所以h=，所以V2=?AA1?AB?=?AA1?AC?BC=AA1?AC2．所以=．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.(12分)甲、乙二人各有6张扑克牌，每人都是3张红心，2张草花，1张方片。每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较，规定：两人花色相同时甲胜，花色不同时乙胜。（Ⅰ）此规定是否公平?为什么?（Ⅱ）若又规定：当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3、2、1，否则得0分，求甲得分的期望．

参考答案：解析：（Ⅰ）设甲取红心、草花、方片的事件分别为A、B、C，乙取红心、草花、方片的事件分、、，则事件A、、B、、C、相互独立，而事件，，两两互斥，由题知，，，则甲取胜的概率：，∴乙取胜的概率为：．

……………6分∵甲取胜的概率≠乙取胜的概率，∴此规定不公平．

…………………8分（Ⅱ）设甲得分数为随机变量，则取值为0，1，2，3．则的分布列为0123∴甲得分的期望……12分20.某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为X0123P所以．…21.设函数(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.参考答案：解析:(1),时,∵,∴在内存在零点.又当时,∴在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.(2)当时,对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时,,与题设矛盾(ⅱ)当,即时,恒成立(ⅲ)当,即时,恒成立.综上可知,注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:用表示中的较大者.当,即时,恒成立(3)证法一

设是在内的唯一零点,,于是有又由(1)知在上是递增的,故,所以,数列是递