万变不离其宗2017高中数学课本典例改编之选修21 22 23专题四空间向量推理与证明

共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得实数对(x，yp＝xa＋yb．a，b，cp，存在有序实数组{x，y，zp＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

，作

πa 1＋a 1＋a2＋a3·|

.→ 则

mn，m

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cos n的夹角为θ，则有sinφ＝|cos 如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos|→|

|n|①：已知的一般原理 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成一般地，证明一个与正整数n有关题，可按下列步骤进行 →→＋→→→对空间任意一点O x→(1－x，OP＝ 对空间任意一点O ya，bθcos

离等问题，要注意空间角度与向量角度之间的区别和联系，求距离往往利用|a|＝a·a＝证明两直线的方向向量平行证明两直线的方向向量垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行②根据线面垂直的判定定理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直的问题①根据面面垂直的判定定理，转化为证相应的线面垂直、线线垂直的问题②证明两个平面的法向量互相垂直 所成角的取值范围是0，2，而两向量所成角的取值范围是[0，π]，所以当两方向向量的夹角是钝角 ①分别在二面角α­l­β的面α，β内，沿α，βn1⊥l，n2⊥l，则这两个向量的夹角注意：二面角的取值范围是的距离.——计算其值求空间中点到点的距离，可以利用两点间的距离，或转化为解三角形空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，若用向量方法求空间距离，则点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解.在数学中，类比是发现概念、方法、定理、的重要，并且应用广泛，数与式、平面与空间用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确题(猜想)，但结论不一定正确，有待(1))在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．应用解决问题时，应首先明确什么是，什么是，如果与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是，应用解决问题时，应当首先明确什么是和，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是，由于在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个才能完成 艰难，枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途做出与命题结论相的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设，或与定义、公理、定理、事实等的结果；断定产生的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真结论是否定形式题结论是以至多、至少、唯一等语句给出题结论的是较明显或较易证明题用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论题个个用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“n＝k时命题成立”为条件，证明“当n＝k＋1时命题成11.原题（2-23）改编P是ABCABChAhBh，P到三边的距离依次为l、l、l

ABCDhAhBhC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lcld，则

SPBC,

SPAC,

SABC

la

SPBCSPACSPAB1

ld

APP2（2-2改编PABCA1B1C1BB1PMBB1AA1MPNBB1交CC1NC