高数课件第二章第一节导数概念

第一节

导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、导数的几何意义与物理意义四、可导与连续的关系五、小结 思考题一元函数微积分学积分学：不定积分、定积分

微分学：导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:

英国数学家

Newton德国数学家Leibniz微分学导数微分描述函数变化快慢描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)一、问题的提出0tDt0求t

时刻的瞬时速度,t如图,0取一邻近于

t

的时刻

t,

运动时间Dt,0t

-

tDt

20平均速度

v

=

Ds

=

s

-

s0

=

g

(t

+

t

).当t

fi

t0时,取极限得20g(t

+

t)0t

fi

t瞬时速度v

=lim0=

gt

.221s

=

gt1.【自由落体运动的瞬时速度问题】牛顿研究的问题，1687年提出导数概念2.【切线问题】圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言.这一定义是不合适的.如y=x2,x轴和y轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20xy又如，y

=x3,如图又比如，y

=sinx,如图从直观上看，应以y

=1作为y

=sin

x在切线，但y

=1与曲线y

=sinx有无穷多交点.2处的p0xy=x3yxy=sinxy10–1p22.【切线问题】切线的一般定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线

C趋向点M时，如果割线

MN趋向于它的极限位置

MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置极限位置的含义：弦长|

MN

|fi

0,—NMT

fi

0莱布尼兹研究曲线的切线问题，1684年提出导数概念.Flash动画演示LMxyox0jaTx1Ny0Dx••1yDy割线MN

的斜率为：DxDxtan

j

=

Dy

=

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置求曲线L：y

=f

(x)在点M

(x0

,y0)处切线的斜率。当Dx

fi

0时，j

fi

atana

=

lim

tanjDxfi

0切线MT

的斜率为：DyDx

fi

0

Dxlim

=DxlimDx

fi

000f

(

x

+

Dx)

-

f

(

x

)¢0f

(

x

)

=

k

=

tana

=二、导数的定义1.【定义】

设函数 在点xfi

x0D

xfi

0D

xlim

f

(

x)

-

f

(

x0

)

=

lim

DyDy

=

f

(

x)

-

f

(

x0

)D

x

=

x

-

x0的导数.记作:y

;x=

x00f

(

x

)

;;

df

(

x

)d

y0dx x

=

x0dx x

=

x即x

=

x0y0D

xfi

0D

x=

f

(

x

)

=

lim

Dy若的某邻域内有定义,x

-

x0在点 处可导,

并称此极限为存在,

则称函数在点.=

limhfi

0000f

¢(

x

)hf

(

x+

h)

-

f

(

x

)其它形式.=

limx

fi

x0000f

¢(

x

)x

-

xf

(

x)

-

f

(

x

)【注】函数

f

(在x)导数存在.若上述极限不存在，则说此点不可导或导数不存在.处x可0

导，也说

在f

(

x具)

有导x0

数或①点导数是因变量在x0

处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.处都可导,

就称函数

f

(

x)在开区间I内可导.②

若

f

(

x在)【关于导数的说明】D时x

fi

00不x可导是由于所至；为方便见，往往说函数

f

(

在x)

点处的导数为

¥，即具有无穷导数.③如果函数y

=f

(x)在开区间I内的每点¥Dy

fiDxx0④Dx在求

lim

f

(

x

+

Dx)

-

f

(

x)时，x是不变的Dxfi

0看作常量，变的是Dx.记作y¢,f

¢(x),dy

或df

(x).dx

dx即

y¢=

lim

f

(

x

+

Dx)

-

f

(

x)对于任一x

˛

I

,都对应着f

(x)的一个确定的

导数值.这个函数叫做原来函数f

(x)的导函数.DxDxfi

0或

f

¢(

x)

=

lim

f

(

x

+

h)

-

f

(

x)

.hfi

0hx=

x00【注意】1.

f

(

x

)

=

f

(

x)⑤00¢=

[

f

(

x

)]

=

0d

f

(

x

)„dx2.

d

f

(

x)0x=

x0¢=

f

(

x

)00dxdxd

f

(

x

)¢=

[

f

(

x

)]

=

0„【步骤】Dy

=

f

(

x

+

Dx)

-

f

(

x);(1)求增量Dy

=

f

(

x

+

Dx)

-

f

(

x);Dx

Dx(2)算比值Dxfi

0

Dx(3)

求极限

y¢=

lim

Dy

.【例1】求函数f

(x)=C

(C为常数)的导数.【解】

f

¢(

x)

=

lim

f

(

x

+

h)

-

f

(

x)

=

lim

C

-

C

=

0.hfi

0h

hhfi

0(C

)

=

0.即2.【求导举例】x=

4【例2】设函数f

(x)=sin

x,求(sin

x)¢及(sin

x)¢

p

.【解】

(sin

x)¢=

lim

sin(

x

+

h)

-

sin

xhfi

0h2h

hsin2)h2=

lim

cos(

x

+hfi

0=

cos

x.(sin

x)

=

cos

x.44x

=px

=p\

(sin

x)¢

=

cos

x2

.2=即类似可得(cos

x)

=

-sin

x【例3】

求函数

y

=

xn

(n为正整数)

的导数.【解】h(

x

+

h)n

-

xnn(

x

)¢=

limhfi

02!hfi

0=

lim[nx

n-1

+

n(n

-

1)

xn-2

h

+

+

hn-1

]

=

nxn-1(

xn

)

=

nxn-1

.(

x

m

)

=

mx

m-1

.

(m

˛

R)x

)即更一般地［例如］

(1

-1x

221=1=

2

x

.x

2(

x

-1

)

=

(-1)

x

-1-1

=

-

1

.较常用到【解】hx【例4】

求函数

f

(

x)

=

ax

(a

>

0,a

„

1)

的导数.a

x

+h

-

a

xhfi

0(a

)¢=

limhah

-

1x=

a

limhfi

0=

a

x

ln

a.(a

x

)

=

a

x

ln

a.(e

x

)

=

e

x

.即【例5】求函数y

=loga

x(a

>0,a

„1)的导数.【解】

y¢=

lim

log

a

(

x

+

h)

-

log

a

xhhfi

0xa

a(log

x)¢=

1

log

e.x(ln

x)¢=

1

.1xhxxalog

(1

+

h)=

limhfi

0hxx)

h1lim

log

a

(1

+x

hfi

0=log

a

e.1x=即【例6】

讨论函数

f

(

x)

=

x

在x

=

0处的可导性.【解】y=

xxyo

f

(0

+

h)

-

f

(0)

=

h

,h=

1,hh

hlim

f

(0

+

h)

-

f

(0)

=

lim

hhfi

0+hfi

0+h

hlim

f

(0

+

h)

-

f

(0)

=

lim

-

hhfi

0-hfi

0-=

-1.即lim

f

(0

+

h)

-

f

(0)

不存在hfi

0h\函数f

(x)=x

在x

=0点不可导.由本例引出以下概念（2）右导数:3.

【单侧导数】（1）左导数:f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)=

limDxfi

0-000f

(

x

)

=

limDxx

-

xf

(

x)

-

f

(

x

)¢xfi

x--

0f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)=

limDxfi

0+000f

(

x

)

=

limDxx

-

xf

(

x)

-

f

(

x

)¢xfi

x++

0（3）可导的充要条件【定理】函数f

(x)在点x0

处可导

导数f

+¢(x0

)都存在且相等.左导数f

-¢(x0

)和右f

(

x0

)

存在

f+

(

x0

)

=

f-

(

x0

)简写为【注】分段函数在分界点处的导数一般要用该定理判定.(4)闭区间可导如果f

(x)在开区间(a,b)内可导，且f

+¢(a)及f

-¢(b)都存在，就说f

(x)在闭区间[a,b]上可导.x

‡

x0

,x

<

x00讨论在点x

的可导性.y

(

x),设函数f

(x)=j

(x),Dxlim

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)Dxfi

0-若Dx=

lim

y

(

x0

+

Dx)

-j

(

x0

)Dxfi

0-=f-(x0

)存在,(5)分段函数可导性:=f+(x0

)存在,Dxf

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)若

limDxfi

0+Dx=

lim

j

(

x0

+

Dx)

-j

(

x0

)Dxfi

0+且f-(x0

)=f+(x0

)=a,则f

(x)在点x0

可导，且

f

(

x0

)

=

a.【例如】例6中f

(x)=x

在x

=0

处有xyoy

=

xf

(0)不存在三、导数的几何意义与物理意义xyy

=

f

(

x)Tx0f

¢(

x0

)

=

tana

,

(a为倾角)

oMa1.【几何意义】f

(x0

)表示曲线y=f

(x)在点M

(x0

,f

(x0

))处的

切线的斜率,即切线方程为

y

-

y0

=

f

(

x0

)(

x

-

x0

).法线方程为1000(

x

-

x

).f

¢(

x

)y

-

y

=

-斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.【解】由导数的几何意义, 得切线斜率为处的切线的x

2【例7】求等边双曲线y

=1

在点(1

,2)1¢x

=2k

=

y1x

=2=

(

)x1

¢

11x

=22=

-x=

-4.切线方程为法线方程为2y

-

2

=

-4(

x

-

1),y

-

2

=

1

(

x

-

1),4

2即4

x

+y

-4

=0.即2

x

-8

y

+15

=0.2.【物理意义】

非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.dtv(t

)

=

lim

Ds

=

ds

.Dt

fi

0

Dt交流电路:电量对时间的导数为电流强度.dti(t

)

=

lim

Dq

=

dq

.Dt

fi

0

Dt非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.四、可导与连续的关系【定理】凡可导函数都是连续函数.

即：可导必连续.【证】设函数f

(x)在点x0可导,0lim

Dy

=

f

¢(

x

)Dxfi

0

Dxa

fi

00DxDy

=

f

¢(

x

)

+

aDy

=

f

(

x0

)Dx

+

aDxDx

fi

0

Dx

fi

0lim

Dy

=

lim[

f

(

x0

)Dx

+

aDx]

=

0\函数f

(x)在点x0连续.【注意】逆定理不成立，即连续不一定可导.【思考题1】若f

(x)在点x0左可导且右可导，f

(x)在x0连续吗？反之若何？(Dx

fi

0)★补充【连续函数不存在导数举例】1.函数f

(x)连续,若f-(x0

)„f+(x0

)则称点x0为函数f

(x)的角点,函数在角点不可导.xyy

=

x20y

=

x［例如］,x

>

0

x

2

,

x

£

0f

(

x)

=

x,在x

=0处不可导hf

(0

+

h)

-

f

(0)hfi

0-

f-¢(0)

=

lim=

0h2

-

0=

limhfi

0-hxyy=

x20y

=

xhf

¢(0)

=

lim

f

(0

+

h)

-

f

(0)hfi

0++h=

lim

h

-

0

=

1hfi

0+\

f-

(0)

„

f+

(0)x

=0为f

(x)的角点.曲线在角点处不光滑.称函数f

(x)在点x0有无穷导数.(不可导)2.

设函数

f

(

x)在点x0连续,

但Dxlim

Dy

=lim

f

(x0

+Dx)-f

(x0

)=+¥

,(或-¥

)Dxfi

0Dxfi

0

Dx［例如］

f

(x)=3x,在x

=0处不可导.hlim

f

(0

+

h)

-

f

(0)hfi

0=

+¥3

h

-

0=

limhfi

0321=

limhfi

0

hh(指摆动不定)

,

则x0点不可导.3.函数f(x)在连续点的左右导数都不存在x

„

0,x

=

00,1［例如］

f

(x)=

x

sin

x

,在x

=0处不可导.01/π－1/πxy1hhfi

0hhhsin

1

lim

f

(0

+

h)

-

f

(0)

=

limhfi

0hhfi

0=

lim sin

1振荡不存在4.若f

(x0

)=¥

,且在点x0的两个单侧导数符号相反(-¥

和+¥

),则称点x0为函数

f

(x)的尖点(不可导点).xyoxyx0oy

=

f

(

x)y

=

f

(

x)x22［例如］

f

(

x)

=

x

3

=

3xyo2f

(

x)

=

x

3在x

=0处不可导.hlim

f

(0

+

h)

-

f

(0)hfi

0-而hlim

f

(0

+

h)

-

f

(0)hfi

02h3

-

0=

limhfi

01hhfi

0=

lim

3h=

lim

1

=

-¥hfi

0-

3

hhhfi