电路储能元件

电路储能元件第1页，课件共60页，创作于2023年2月含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：1.动态电路

6.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路第2页，课件共60页，创作于2023年2月t1uct0i=0,uC=UsK接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)初始状态过渡状态新稳态USK未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0K+–uCUsRCi

(t=0)电容电路第3页，课件共60页，创作于2023年2月uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1US/Rit0+–uLUsRLi

(t→)K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0K+–uLUsRLi

(t=0)电感电路第4页，课件共60页，创作于2023年2月过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化第5页，课件共60页，创作于2023年2月+–uLUsRLi

(t>0)2.动态电路的方程+–uCUsRCi

(t>0)应用KVL和元件的VCR得：第6页，课件共60页，创作于2023年2月一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；第7页，课件共60页，创作于2023年2月

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件0－0＋0tf(t)第8页，课件共60页，创作于2023年2月t=0+时刻iucC+-

(2)电容的初始条件当i()为有限值时q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒结论第9页，课件共60页，创作于2023年2月iuL+-L

(3)电感的初始条件t=0+时刻当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论第10页，课件共60页，创作于2023年2月L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。第11页，课件共60页，创作于2023年2月5.电路初始值的确定例1求uC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V电容开路第12页，课件共60页，创作于2023年2月iL(0+)=iL(0－)=2A由换路定律:例2t=0时闭合开关k,求iL(0+)iL+uL-L10VK14先求解10V14电感短路第13页，课件共60页，创作于2023年2月求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。第14页，课件共60页，创作于2023年2月求uC(0+),iL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiCiL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RIS解RIS由0－电路得：第15页，课件共60页，创作于2023年2月例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：解由0－电路得：iL2+-48V32+－uC第16页，课件共60页，创作于2023年2月例5求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C－解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路1A+200V-100+100V100100－+uL－iC第17页，课件共60页，创作于2023年2月6.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则已知uC

(0－)=U0

uR=Ri零输入响应第18页，课件共60页，创作于2023年2月代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0第19页，课件共60页，创作于2023年2月tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；第20页，课件共60页，创作于2023年2月时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短U0tuc0小大第21页，课件共60页，创作于2023年2月工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0t1t2次切距的长度第22页，课件共60页，创作于2023年2月（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C第23页，课件共60页，创作于2023年2月例已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。i3K3+uC265F－i2i1解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：分流得：第24页，课件共60页，创作于2023年2月2.

RL电路的零输入响应iK(t=0)USL+–uLRR1特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0t>0iL+–uLR第25页，课件共60页，创作于2023年2月-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；第26页，课件共60页，创作于2023年2月令=L/R

,称为一阶RL电路时间常数大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R第27页，课件共60页，创作于2023年2月（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR第28页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,打开开关K，求uv。uV

(0+)=－10000V造成V损坏。现象：电压表坏了电压表量程：50ViL

(0+)=iL(0－)=1A解iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V第29页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL212解第30页，课件共60页，创作于2023年2月小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路=RC

,

RL电路=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路第31页，课件共60页，创作于2023年2月动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。6.3一阶电路的零状态响应零状态响应列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解第32页，课件共60页，创作于2023年2月与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由起始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解第33页，课件共60页，创作于2023年2月-USuC‘uC“USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+第34页，课件共60页，创作于2023年2月（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。第35页，课件共60页，创作于2023年2月例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。50010F+-100VK+－uCi解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V第36页，课件共60页，创作于2023年2月2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00第37页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。iLK+–uL2HR8010A200300解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：第38页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压。iLK+–uL2H102A105+–u解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：第39页，课件共60页，创作于2023年2月6.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。全响应=RCiK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，非齐次方程1.全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A第40页，课件共60页，创作于2023年2月2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰第41页，课件共60页，创作于2023年2月iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算第42页，课件共60页，创作于2023年2月零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0第43页，课件共60页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uLiLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8解这是一个RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：第44页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。+–10V1A1+－uC1+－u1解这是一个RC电路全响应问题，有：稳态分量：全响应：A=－10第45页，课件共60页，创作于2023年2月3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解第46页，课件共60页，创作于2023年2月1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解第47页，课件共60页，创作于2023年2月例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1解三要素为：应用三要素公式第48页，课件共60页，创作于2023年2月例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：第49页，课件共60页，创作于2023年2月例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。t>0.2s0<t<0.2s解第50页，课件共60页，创作于2023年2月(0<t0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262第51页，课件共60页，创作于2023年2月6.5一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数定义t(t)01单位阶跃函数的延迟t(t-t0)t001第52页，课件共60页，创作于2023年2月t=0合闸