高三数学第一轮总复习课件-第十四讲-函数与方程

共63页1第十四讲函数与方程共63页2走进高考第一关考点关共63页3回归教材

1.函数的零点

(1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)方程的根与函数零点的关系.

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.共63页4(3)零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.共63页52.用二分法求方程的近似解

(1)二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.共63页6(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;

第二步,求区间(a,b)的中点x1;

第三步,计算f(x1):

①若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点;

②若f(a)·f(x1)<0,则b=x1(此时零点x0∈(a,x1));

③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));

共63页7第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则函数零点的近似值为a(或b);否则重复第二步到第四步.

用二分法求方程的近似解的计算量较大,因此往往借助计算器或计算机来完成.共63页8考点训练

1.关于x的方程mx2+2x+1=0至少有一个负根,则()

A.m≤1

B.0<m<1

C.m<1

D.0<m≤1或m<0答案:A共63页9共63页102.下图的函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案:B共63页113.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,那么g(x)=bx2-ax的零点是()答案:C解析:由题意得2a+b=0得b=-2a,

由bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-.共63页124.函数y=lnx-6+2x的零点一定位于哪个区间()

A.(1,2) B.(2,3)

C.(3,4) D.(5,6)答案:B解析:当x∈(2,3),lnx∈(ln2,ln3),∵ln2<1,ln3>1,6-2x∈(0,2),当x=2时,y<0,当x=3时,y>0,故x∈(2,3).共63页13共63页14解读高考第二关热点关共63页15题型一求函数的零点

例1

求下列函数的零点.

(1)f(x)=x3-2x2-x+2;

(2)f(x)=x+-3.解:(1)由x3-2x2-x+2=0,

得x2(x-2)-(x-2)=0,

即(x-1)(x+1)(x-2)=0,

得x=2或x=1或x=-1,

故函数f(x)的零点是2,1,-1.共63页16(2)由x+-3=0,

得x2-3x+2=0,

即(x-1)(x-2)=0,

得x=1或x=2.

∴函数f(x)的零点为1,2.点评:求函数f(x)的零点是通过转化求方程f(x)=0的根来实现的.共63页17变式1:函数f(x)=x2+(m2+2)x+m在(-1,1)上的零点的个数为()

A.0 B.1

C.2 D.不确定答案:B共63页18共63页19题型二方程根的个数问题

例2

(1)判断方程3x-x2=0的负实数根的个数;

(2)已知定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,

f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解.

①求x<0时,函数f(x)的解析式;

②求a的取值范围.共63页20解:(1)设f(x)=3x-x2,

∵f(-1)=-<0,f(0)=1>0,

又∵f(x)的图象在[-1,0]上是连续不断的.

∴函数f(x)在(-1,0)内有零点.

又∵在(-∞,0)上,函数y=3x递增,y=x2递、、

∴f(x)在(-∞,0)上单调递增.

故f(x)在(-1,0)内只有一个零点.

即方程3x-x2=0只有一个负实数根.共63页21(2)①设x<0,则-x>0,∵f(x)为偶函数,

∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax,

②∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0的根关于x=0对称,

又f(x)=0恰有5个根,故有两正根两负根(分别互为相反数)一个零根.

又当x>0时,f′(x)=-a,

∴当a≤0时,f(x)=lnx-ax在(0,+∞)上单调递增,f(x)=0在(0,+∞)不可能有两个实根,共63页22当a>0时,令f′(x)=0,x=,

当0<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,

∴f(x)在x=1a处取得极大值lna-1,

又当x→-∞时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→-∞,

∴要使f(x)=0在(0,+∞)上有两根,

当且仅当-lna-1>0,得0<a<.

由偶函数的对称性可知,

当0<a<时,f(x)在R上恰有5个不同的解.共63页23点评:

①方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间端点处的函数值的正负来确定,但是要确定函数零点的个数还需进一步研究函数在这个区间上的单调性,在给定区间上如果是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续分出小的区间,再类似作出判断;

②如果y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且x0是函数y=f(x)在(a,b)上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.共63页24变式2:

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则()

A.b∈(-∞,0)

B.b∈(0,1)

C.b∈(1,2)

D.b∈(2,+∞)答案:A共63页25解析:由f(0)=0得d=0,

又∵f(1)=0,∴a+b+c=0.①

又f(-1)<0,∴-a+b-c<0.②

①+②得2b<0,即b<0,选A.共63页26题型三利用二分法求方程的近似解

例3

求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).共63页27解:设f(x)=2x3+3x-3.

经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,

所以函数在(0,1)内存在零点,

即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.

取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,

又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解,如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如下表.(a,b)(a,b)的中点

(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875-0.75|=0.0625<0.1共63页28共63页29至此,可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内,可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值.因此0.7是方程2x3+3x-3=0精确到0.1的一个近似解.共63页30点评:

①用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得到各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程;

②在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足f(a)5f(b)<0;共63页31③求方程的近似解,所要求的精确度不同得到的结果也不同,精确度ε,是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,直到|a-b|<ε时,可停止计算,其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数,结果不唯一.共63页32变式3:关于方程3x+x2+2x-1=0,下列说法正确的是()

A.方程有两个不相等的负实根

B.方程有两个不相等的正实根

C.方程有一正实根,一零根

D.方程有一负实根,一零根答案:D共63页33解析:令y1=3x,y2=-x2-2x+1=2-(x+1)2,则方程的根即为两函数的交点的横坐标,在同一坐标系下,作出两函数的图象如下:观察图象可知方程一负实根,一零根.共63页34笑对高考第三关技巧关共63页35(1)函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,也就是函数的图象与x轴交点的横坐标,对于:

①判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断一元二次方程f(x)=0的实根个数,然后借助判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0来判断.

②对于二次函数在某个区间上零点的个数,要结合二次函数的图象,利用判别式、对称轴及区间端点处的函数值来判断.共63页36(2)一元二次方程根的分布问题

①此题型为方程的实根分布问题,解决此类问题一定要注意结合图象,从各个方面去考虑结论成立的所有条件,考虑的方面有:判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、开口方向等.

②一元二次方程根的分布情况需满足的条件的常见情况(下面只讨论a>0的情况,a<0时可类比a>0的情况.)共63页37共63页38共63页39共63页40典例

若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点,求m的取值范围.共63页41解:线段AB的方程为x+y=3(0≤x≤3),

由题意得方程组

有两组实数解,

①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实根,

令f(x)=x2-(m+1)x+4,因此问题转化为二次函数f(x)=x2-(m+1)x+4在x∈[0,3]上有两个实根,故:共63页42解得3<m≤.

故m的取值范围是(3,].共63页43考向精测

1.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是()

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=(x-1)2

C.f(x)=ex-1

D.f(x)=ln(x-)答案:A解析:g(0)=-2,g()=2+1-2=1,∴g(x)的零点介于(0,)之间,故选A.共63页442.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一个解,则a∈_________.答案:(1,+∞)解析:令f(x)=2ax2-x-1,由f(0)-f(1)<0,得a>1.共63页45课时作业(十四)函数与方程一、选择题

共63页46A.1 B.0,2

C.0,1,2 D.0,1答案:D解析:由2x-2=0得x=1,由x2-2x=0,得x=0或x=2,由于此时x<1,故x=2舍去,故答案为D.共63页472.函数f(x)=lnx-的零点个数是()

A.0 B.1

C.2 D.3答案:C解析:在同一坐标下画出y=lnx,y=的图象,有两个交点,故函数f(x)有两个零点.共63页483.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,可知其中一个零点x0∈________,第二次应计算____________.()

A.(0,0.5)f(0.25)

B.(0,1)f(0.25)

C.(0.5,1)f(0.75)

D.(0,0.5)f(0.125)答案:A解析:由二分法可知答案为A.共63页494.已知函数y=f(x)和y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](常数a>0),其图象如图所示,给出下列四个命题:

(1)函数y=f[g(x)]有且仅有6个零点

(2)函数y=g[f(x)]有且仅有6个零点

(3)函数y=f[f(x)]有且仅有9个零点

(4)函数y=g[g(x)]有且仅有4个零点

其中正确的命题是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4)

C.(2)(3) D.(1)(4)共63页50答案:D解析:由数形结合可知.共63页515.a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当a<0时,方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,但当a=0时,方程也有一个负根.共63页526.已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3的零点为x1,x2,则x12+x22的()

A.-7 B.-6

C.2 D.18答案:C解析:由Δ=4m2-4(2m+3)≥0知m≥3或m≤-1,

又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-4m-6,

当m=-1时,x12+x22取得最小值2.共63页53二、填空题

7.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.答案:(1,+∞)解析:函数f(x)的零点个数就是函数y=ax与y=x+a的交点个数,由函数的图象可知a>1时,两函数图象有两个交点,0<a<1时,两函数有一个交点,故a>1.共63页548.若f(x)=ax+b-1(0<a≤1)在[0,1]上有零点,则b-2a的最小值为________.答案:-2共63页55共63页56答案:k=0或k>1或k<-1共63页57共63页58三、解答题

10.判断下列函数在给定区间上是否存在零点.

(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];

(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];

(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];

(4)f(x)=-x,x∈(0,1).共63页59解:(1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,

∴f(1)5f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点