初三数学上册《垂直于弦的直径》课件新人教版

初三数学上册《垂直于弦的直径》课件新人教版问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？·圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。图1图2图3？·OO实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？●O如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?思考·OABCDE（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OBCD·AE1、CD是直径2、CD⊥AB3、AE=BE⌒5、直径CD平分ACB

4、直径CD平分AB⌒③AE=BE由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,垂径定理条件结论·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦垂径定理三种语言老师提示:

垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧●OABCDE└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）?思考·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒·OABCDE平分弦（弦不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：AC=BCCD⊥AB,由CD是直径AE=BE可推得⌒⌒AD=BD⌒⌒定理及推论，总结：一条直线只需满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（非直径）（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。以上的任意两个条件，就能推出其它三个.简称“知二推三”.ＣＡＤＢＥＯ判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

辨别是非小试牛刀：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA，作OE⊥AB于点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在Rt△AOE中，据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距.AEBO动手做一做：1、如图1，已知AB，请你利用尺规作图的方法作出它的中点，说出你的做法及理由。AB⌒2、如图2，已知一块残缺不全的铁片，请你找出此圆的圆心。图1图21:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AB=6㎝，求圆O的半径。

在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a,弓形的高h中，任意知道两个量，可根据

定理解直角三角形求出第三个量：简称“知二求二”CDBAO垂径2、如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。DCEOABDCEOAB反思

赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OABCD垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600650DC课后小结2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r(2)r2=d2=(a/2)2hda2O必做题：教材练习题：P82T1、T2自选题：已知：⊙O中弦AB∥CD求证：AC＝BD.ACDBO.作业布置谢谢1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.提高练习

2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．6已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒一、实践探究活动2按下面的步骤做一做：第一步：在一张纸上任意画一个圆⊙O，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步：得到一条折痕CD；第三步：在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；第四步：将纸打开，新的折痕与圆交与另一点B。解决求赵州桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O作弦AB

的垂线OC，垂足为D，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB

的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．AB=48米，CD=16米BODACR实践应用：⌒⌒⌒⌒⌒驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）

(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）.(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有: