第十二章全等三角形课件-

请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象结论：这两个图形完全重合请观察，并说出你看到的现象☆☆能够重合的图形叫做全等形这两个五角星就是全等五角星全等形定义：☆☆□□全等形定义：能够重合的图形叫做全等形这两个正方形就是全等正方形□全等形定义：能够重合的图形叫做全等形请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象结论：这两个三角形重合12.1全等三角形

学习目标1.掌握全等形及全等三角形的相关概念。2.会找全等三角形的对应顶点、对应角及对应边。3.理解并掌握全等三角形的性质。ABCDEF读作“全等于”“全等”用符号“”来表示≌△ABC≌△DEF三角形ABC全等于三角形DEF

ABCDEF注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应的位置上。△ABC≌

△△ACB≌△△BAC≌△△BCA≌△△CAB≌△△CBA≌△EFDEDFFEDFDEDEFDFEABCDEF互相重合的边叫做对应边互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的角叫做对应角ADBECFAB与DEBC与EFAC与DF∠A与∠D∠B与∠E∠C与∠F△ABC≌△DEFABCDEF全等三角形的<1>.

对应边相等,<2>.

对应角相等.全等三角形的性质:△ABC≌△DEF

你能指出图中有哪些相等的线段，有哪些相等的角吗？相等的线段：AB=DE，BC=EF，AC=DF相等的角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F1.面积相等的两个图形是全等形2.所有的等边三角形都是全等三角形3.全等三角形的形状相同，但大小不同4.全等三角形的对应边相等，对应角相等快速判断√×××ADBCEF

试一试：根据图形所提供的条件和全等式：（1）在图上标出所缺的字母；（2）说出它们的对应边和对应角△AFB≌△EDC想一想：BD=FHDC=HGBC=FG∠B=∠F∠D=∠H∠C=∠G

能否根据下列全等式说出两个三角形的对应边和对应角AO=BOOC=ODAC=BD∠A=∠B∠O=∠O∠C=∠D请小心：在具体图形中，有时角不能用一个大写字母表示。1.△BDC≌△FHG2.△AOC≌△BODABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试1：ABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试2：DEFDEFEFABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试3：ABODE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试4：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试4：ACODBABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试5：DACB先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试6：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试7：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试8：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试9：CABDBDBDBDBDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试9：FADEBCAABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试10：ADEBCAADEADEADEADEADEADEADEADEADEADEADEBCADEBADEC先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试11：ABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试12：1、图1中，若△AOC≌△BOD，对应边有

，对应角有

；ABCDABCD从上述题中你能总结出找全等三角形的对应边、对应角的规律吗?ABOCD（图1）（图3）（图2）寻找方法2、图2中，△ABD与△ADC全等，可记作:_______3、图3中，△____≌△_____,其中对应边是_____

对应角是_______.找对应边、对应角的方法:1、在两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）。2、公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对应边。3、对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。4、根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角。例1：如图，若ΔABC≌ΔAEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=AB,④∠FAC=∠EAF,其中正确结论的是________分析：由ΔABC≌ΔAEF和

∠B=∠E知：AC=AF.所以①是正确的。①典型例题DABEC例2：如图，把ΔABC绕点A顺时针旋转30°后得到ΔADE.(1)△ABC与ΔADE的关系如何？(2)求∠BAD的度数.(3)若ΔABC中，AC=3，∠C=31°，求AE的长和∠E的度数.(4)如果AC=3，AB=6，BC=7,求ΔADE的周长.典型例题典型例题例3：如图，已知ΔABC≌ΔFED,BC=ED,证明:AB∥EF证明:∵ΔABC≌ΔFED（）∴∠

=∠

,

()∴AB∥EF将上述证明过程补充完整.AF全等三角形的对应角相等已知证明:AD=CF当堂检测2.已知：△MNP≌△ABC，MN=AB，MP=AC，

∠MPN=35º，∠CAB=40º,则∠ABC=____，

∠M=____；1.有下列说法：全等三角形的形状相同；周长和面积都相等的两个三角形全等；若两个钝角三角形全等，则钝角所对的边是对应边；④两个全等形无论怎样改变位置，都能够完全重合。其中说法正确的个数有_______3个105°40°3.如图，将周长为8的△ABC

沿BC方向平移一个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_______AEFDCB10

如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长.ABEDC能力提高互相重合的顶点叫做

。互相重合的角叫做

。互相重合的边叫做

。其中2、

叫做全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做

。全等形4.全等三角形的

和

相等对应边对应角对应顶点课堂小结

能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“

”对应边对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等于≌必做：课本第4页2选做：A第5页4B第4页1挑战极限如图四边形是长方形，你能将它分成两个全等的图形吗？有几种方法？ABCD●O思考题：如图，已知⊿ABC≌⊿ADE，且∠CAD=100，∠DFB=900，∠B=250，求∠E和∠DGB的度数。BAEGDFC角平分线的性质复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB我的长度

如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?探究1：E角的平分线的作法证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离。定理的作用：

证明线段相等。∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）判断：练习∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等练习如图，∵OC是∠AOB的平分线，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等

在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD

在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA

如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识？小结1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；2、角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。∵OC是∠AOB的平分线,

又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言:，1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE

2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

。60BF2如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角的平分线6cm练习3.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！

如图，由于点D，于点E，PD=PE，可以得到什么结论？OBPE^PD^OA议一议

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：如图，，，垂足分别是

A、B，PD=PE

，求证：点P在的角平分线上。BADOPE

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

已知：如图，，，垂足分别是

D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。证明：\作射线OP\

点P在角的平分线上

在Rt△PDO

和Rt△PEO

中，（HL）\（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）\≌角平分线的判定BADOPE∵角平分线的判定的应用书写格式：OP是的平分线PD=PE\

（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵

DE OPAB角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线∵∵\OP是的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD1.已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。ABCFED课堂练习拓展与延伸2.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA3、已知PA=PB，∠1+∠2=1800，

求证：OP平分∠AOBAOBP12EFABCPEDFMN例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等随堂练习1.已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。CA

B

P

DE2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？例1已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()

A.一处B.两处C.三处D.四处2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA1、画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3、角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。课堂小结判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。

2.全等三角形的判定:

知识点①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL知识点3.三角形全等的证题思路：①②③到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上(已知）∴QD＝QE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对D已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.例3.ABCD例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△AEH≌△CEB。BE=EH例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：ABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE∵AD是△ABC的中线∴

BD＝CD又∵

DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴课堂练习1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F.求证：DE＝DF证明：∵∠ABD＝∠ACD（）

∴∠EBD＝∠FCD（）又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）

∴∠E＝∠F＝900（）在△DEB和△DFC中

∵∴△DEB≌△DFC（）

∴DE＝DF（）全等三角形的对应边相等AAS垂直的定义等角的补角相等已知2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF。求证：AB∥CD。证明：≌∥∥3、如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=

。12cABDE4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上。求证：BE=AD

EDCAB变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD5.如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中

∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD6.如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF证明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中

AC=DF

∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）练习7、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC②DE=DF③BE=CF已知：EG∥AF求证：GFEDCBA拓展题8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED9.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1）

；（2）

；10.如图，在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.11.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：△ADG为等腰直角三角形。12.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求证：EB=FC总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（30要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4)时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象结论：这两个图形完全重合请观察，并说出你看到的现象☆☆能够重合的图形叫做全等形这两个五角星就是全等五角星全等形定义：☆☆□□全等形定义：能够重合的图形叫做全等形这两个正方形就是全等正方形□全等形定义：能够重合的图形叫做全等形请观察，并说出你看到的现象请观察，并说出你看到的现象结论：这两个三角形重合12.1全等三角形

学习目标1.掌握全等形及全等三角形的相关概念。2.会找全等三角形的对应顶点、对应角及对应边。3.理解并掌握全等三角形的性质。ABCDEF读作“全等于”“全等”用符号“”来表示≌△ABC≌△DEF三角形ABC全等于三角形DEF

ABCDEF注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应的位置上。△ABC≌

△△ACB≌△△BAC≌△△BCA≌△△CAB≌△△CBA≌△EFDEDFFEDFDEDEFDFEABCDEF互相重合的边叫做对应边互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的角叫做对应角ADBECFAB与DEBC与EFAC与DF∠A与∠D∠B与∠E∠C与∠F△ABC≌△DEFABCDEF全等三角形的<1>.

对应边相等,<2>.

对应角相等.全等三角形的性质:△ABC≌△DEF

你能指出图中有哪些相等的线段，有哪些相等的角吗？相等的线段：AB=DE，BC=EF，AC=DF相等的角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F1.面积相等的两个图形是全等形2.所有的等边三角形都是全等三角形3.全等三角形的形状相同，但大小不同4.全等三角形的对应边相等，对应角相等快速判断√×××ADBCEF

试一试：根据图形所提供的条件和全等式：（1）在图上标出所缺的字母；（2）说出它们的对应边和对应角△AFB≌△EDC想一想：BD=FHDC=HGBC=FG∠B=∠F∠D=∠H∠C=∠G

能否根据下列全等式说出两个三角形的对应边和对应角AO=BOOC=ODAC=BD∠A=∠B∠O=∠O∠C=∠D请小心：在具体图形中，有时角不能用一个大写字母表示。1.△BDC≌△FHG2.△AOC≌△BODABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试1：ABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试2：DEFDEFEFABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试3：ABODE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试4：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试4：ACODBABCDEF先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试5：DACB先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试6：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试7：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试8：ABCD先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试9：CABDBDBDBDBDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试9：FADEBCAABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试10：ADEBCAADEADEADEADEADEADEADEADEADEADEADEBCADEBADEC先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试11：ABCDE先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角试一试12：1、图1中，若△AOC≌△BOD，对应边有

，对应角有

；ABCDABCD从上述题中你能总结出找全等三角形的对应边、对应角的规律吗?ABOCD（图1）（图3）（图2）寻找方法2、图2中，△ABD与△ADC全等，可记作:_______3、图3中，△____≌△_____,其中对应边是_____

对应角是_______.找对应边、对应角的方法:1、在两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）。2、公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对应边。3、对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。4、根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角。例1：如图，若ΔABC≌ΔAEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=AB,④∠FAC=∠EAF,其中正确结论的是________分析：由ΔABC≌ΔAEF和

∠B=∠E知：AC=AF.所以①是正确的。①典型例题DABEC例2：如图，把ΔABC绕点A顺时针旋转30°后得到ΔADE.(1)△ABC与ΔADE的关系如何？(2)求∠BAD的度数.(3)若ΔABC中，AC=3，∠C=31°，求AE的长和∠E的度数.(4)如果AC=3，AB=6，BC=7,求ΔADE的周长.典型例题典型例题例3：如图，已知ΔABC≌ΔFED,BC=ED,证明:AB∥EF证明:∵ΔABC≌ΔFED（）∴∠

=∠

,

()∴AB∥EF将上述证明过程补充完整.AF全等三角形的对应角相等已知证明:AD=CF当堂检测2.已知：△MNP≌△ABC，MN=AB，MP=AC，

∠MPN=35º，∠CAB=40º,则∠ABC=____，

∠M=____；1.有下列说法：全等三角形的形状相同；周长和面积都相等的两个三角形全等；若两个钝角三角形全等，则钝角所对的边是对应边；④两个全等形无论怎样改变位置，都能够完全重合。其中说法正确的个数有_______3个105°40°3.如图，将周长为8的△ABC

沿BC方向平移一个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_______AEFDCB10

如图△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长.ABEDC能力提高互相重合的顶点叫做

。互相重合的角叫做

。互相重合的边叫做

。其中2、

叫做全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做

。全等形4.全等三角形的

和

相等对应边对应角对应顶点课堂小结

能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“

”对应边对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等于≌必做：课本第4页2选做：A第5页4B第4页1挑战极限如图四边形是长方形，你能将它分成两个全等的图形吗？有几种方法？ABCD●O思考题：如图，已知⊿ABC≌⊿ADE，且∠CAD=100，∠DFB=900，∠B=250，求∠E和∠DGB的度数。BAEGDFC角平分线的性质复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB我的长度

如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?探究1：E角的平分线的作法证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离。定理的作用：

证明线段相等。∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）判断：练习∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等练习如图，∵OC是∠AOB的平分线，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等

在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.OABECD

在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA

如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识？小结1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；2、角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。∵OC是∠AOB的平分线,

又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言:，1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE

2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

。60BF2如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角的平分线6cm练习3.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！

如图，由于点D，于点E，PD=PE，可以得到什么结论？OBPE^PD^OA议一议

到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：如图，，，垂足分别是

A、B，PD=PE

，求证：点P在的角平分线上。BADOPE

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

已知：如图，，，垂足分别是

D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。证明：\作射线OP\

点P在角的平分线上

在Rt△PDO

和Rt△PEO

中，（HL）\（全等三角形的对应角相等）OP=OP（公共边）PD=PE（已知）\≌角平分线的判定BADOPE∵角平分线的判定的应用书写格式：OP是的平分线PD=PE\

（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）∵

DE OPAB角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线∵∵\OP是的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD1.已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。ABCFED课堂练习拓展与延伸2.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA3、已知PA=PB，∠1+∠2=1800，

求证：OP平分∠AOBAOBP12EFABCPEDFMN例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等随堂练习1.已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠BAC的平分线上。CA

B

P

DE2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？例1已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()

A.一处B.两处C.三处D.四处2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA1、画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；2、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3、角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。课堂小结判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。

2.全等三角形的判定:

知识点①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL知识点3.三角形全等的证题思路：①②③到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上(已知）∴QD＝QE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上例题选析例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对D已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.例3.ABCD例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C例5：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为