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级数与留数第三章目录CONTENTS第一节复数项级数一、复数列的极限二、复数项级数第一节复数项级数一、复数列的极限

第一节复数项级数

与复变函数极限类似地，有如下的结论：一、复数列的极限第一节复数项级数

由复数列极限的定义及充要条件可以看出，我们可以利用实数列极限的一些计算方法，比如四则运算法则等来计算复数列极限．

一、复数列的极限第一节复数项级数

一、复数列的极限1．复数项级数及其收敛性第一节复数项级数二、复数项级数

第一节复数项级数

二、复数项级数定理3-2复数项级数（均为实数）收敛的充分必要条件是实数项级数与均收敛；级数收敛时有.

再由复数项级数与实数项级数的收敛定义，即可得到

收敛的充分必要条件是与均收敛，而且有第一节复数项级数

二、复数项级数第一节复数项级数

从定理2立即可以得到复数项级数收敛的一个必要条件：与实数项级数类似，经常用这个必要条件来判断级数发散．例2判断级数的收敛性：(1)

；(2)

；(3).

二、复数项级数第一节复数项级数解(1)由调和级数发散，故发散．

(2)由于级数与均收敛，知也收敛．二、复数项级数同时，由于，，因此所求级数的和为第一节复数项级数

(3)由于，

因而，由必要条件可知所求级数

发散．二、复数项级数复数项级数收敛性的判别，常用到实数项运算性质和审敛法，比如正项级数的比较审敛法及其极限形式、比值审敛法，比如交错级数的Leibniz判别法，又比如常用的p-级数、等比级数

的收敛性，等等．第一节复数项级数二、复数项级数第一节复数项级数与实数项级数类似地，也可定义复数项级数的绝对收敛与条件收敛．定义3-3若级数收敛，则称复数项级数

绝对收敛．二、复数项级数

2．绝对收敛与条件收敛定理3-3绝对收敛的级数一定收敛．第一节复数项级数证

设绝对收敛，其中，即有

收敛．由，根据比较审敛法原理可知，

与均收敛，

即实数项级数与均绝对收敛从而收敛，因此也收敛．二、复数项级数证

必要性的证明在定理3的证明过程中已经给出，下面只需证明充分性．第一节复数项级数定理3-4复数项级数绝对收敛的充要条件是实数项级数与均绝对收敛．二、复数项级数由于，如果与均绝对收敛，即与均收敛，第一节复数项级数

由实数项级数的绝对收敛性可知，收敛的级数未必绝对收敛．定义3-4若复数项级数收敛，但不收敛，则称

条件收敛．二、复数项级数由比较审敛法原理，可以得到也收敛，从而绝对收敛．第一节复数项级数例3讨论等比级数（）的收敛性与绝对收敛性．

此时，其和为

，与实等比级数的求和公式相同．

解当时，由为以为公比的实等比级数，收敛，因此收敛且绝对收敛．二、复数项级数第一节复数项级数

当时，由，从而，由级数收敛的必要条件知级数

发散．二、复数项级数例4讨论下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1)

；(2)．第一节复数项级数

解(1)由于实级数与均收敛，因此级数也收敛；二、复数项级数

再由条件收敛，因此级数

收敛且条件收敛．第一节复数项级数二、复数项级数

(2)由

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