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文档简介
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的
推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即
把实际问题看作向量空间，进而通过研究向
量空间来解决实际问题．一、线性空间的概念g
=
a
+
b若对于任一数l
˛
R与任一元素a
˛
V，总有唯一的一个元素d
˛
V
与之对应，称为l
与的积，记作d
=
la素g
˛
V与之对应，称为与b
的和，记作定义１ 设
V
是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素a
,
b
˛
V
，总有唯一的一个元如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
么V
就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．设a
,b
,g
˛
V
;l,m
˛
R(1)
a
+
b
=
b
+a
;a
+
b
)+
g
=
a
+
b
+
g);在V中存在零元素0,
对任何a
˛
V
,都有a
+
0
=
a
;对任何a
˛
V
,都有a的负元素b
˛
V
,使a
+
b
=
0;1a
=
a
;l
ma
)=
lm
)a
;l
+
m
)a
=
la
+
ma
;l
a
+
b
)=
la
+
lb
.．向量空间中的向量不一定是有序数组．．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
Am·n
+
Bm·n
=
Cm·n
,lAm·n
=
Dm·n
,\Rm·n是一个线性空间.线性空间的判定方法（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例１
实数域上的全体m
·
n矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rm·n
．nP[
x]
=
{
p
=
an
xn
+
+
a1
x
+
a0
an
,,
a1
,
a0
˛
R},例2
次数不超过n的多项式的全体,
记作
P[
x]n
,即n对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法构成向量空间.通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．(an
xn+
+
a1
x
+
a0)
+
(bn
xn+
+
b1
x
+
b0)=
(an
+
bn)
xn+
+
(a1
+
b1)
x
+
(a0
+
b0)˛
P[
x]nl(an
xn
+
+
a1
x
+
a0)=
(l
an)
xn+
+
(l
a1)
x
+
(l
a0)
˛
P[
x]P[x]n
对运算封闭.nQ[
x]
=
{
p
=
an
xn+
+
a1
x
+
a0
an
,,
a1
,例3
n次多项式的全体a0
˛
R,且an
„0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间.0
p
=
0
xn
+
+
0
x
+
0
ˇ
Q[
x]nQ[x]n
对运算不封闭.例４
正弦函数的集合S
x]=
{s
=
Asin
x
+
B)A,
B
˛
R}.对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．
s1
+
s2
=
A1
sin
x
+
B1
)+
A2
sin
x
+
B2
)=
a1
cos
x
+
b1
sin
x)+
a2
cos
x
+
b2
sin
x)=
a1
+
a2
)cos
x
+
b1
+
b2
)sin
x=
Asin
x
+
B)˛
S[
x
].ls1
=
lA1
sin
x
+
B1
)=
lA1
)sin
x
+
B1
)˛
S
[
x
]\S
x]是一个线性空间.例５
在区间
[a,
b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．例６
正实数的全体，记作
R+
，在其中定义加法及乘数运算为a
¯
b
=
ab,l
a
=
al
,
l
˛
R,
a,
b
˛
R+
.验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．证明"
a,
b
˛
R+
,
a
¯
b
=
ab
˛
R+;"
l
˛
R,
a
˛
R+
,
l
a
=
al
˛
R+
.所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：(1)
a
¯
b
=
ab
=
ba
=
b
¯
a;(2)(a
¯
b)
¯
c
=
(ab)
¯
c
=
(ab)c
=
a
¯
(b
¯
c);R+中存在零元素1,对任何a
˛
R+,有a
¯
1
=
a
1
=
a;"a
˛
R+,有负元素a-1
˛
R+,使a
¯
a-1
=
a
a-1
=1;(5)
1
a
=
a1
=
a;(6)
l
(m
a)=
l
am
=
(a
m
)l
=
alm
=
(lm
)
a;(l
+
m
)
a
=
al
+
m=
alam
=
al
¯
am=
l
a
¯
m
a;l
(a
¯
b)
=
l
(ab)
=
(ab)l
=
albl=
al
¯
bl
=
l
a
¯
l
b.所以R+对所定义的运算构成线性空间．(
)nl
(
x
,,
x
)
=
0,,0对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法T例７
n
个有序实数组成的数组的全体{Tn1
2
nx1
,
x2
,,
xn
˛
RS
=
x
=
(
x
,
x
,,
x
)1不构成线性空间．Sn
对运算封闭.但1
x
=
o,
不满足第五条运算规律.由于所定义的运算不是线性运算,所以Sn
不是线性空间.1．零元素是唯一的．证明是线性空间V中的两个零元假设01
,02素，则对任何a
˛
V
，有a
+
01
=
a
,
a
+
02
=
a
.由于01
,02
˛
V
,所以
02
+
01
=
02
,01
+
02
=
01.01
=01
+02
=02
+01
=02.二、线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素
b
与
，那么a
+
b
=
0,
a
+
g
=
0.则有b
=
b
+
0
=
b
+
a
+
g)=
b
+
a
)+
g.=
0
+
g
=向量 的负元素记为-l0
=
0.-
1)a
=
-a
;3.
0a
=
0;证明a
+0a
=1a
+0a
=1
+0)a
=1a
=a
,\
0a
=
0.a
+
-
1)a
=
1a
+
-
1)a
=
1
+
-
1)]a
=
0a
=
0,\
-
1)a
=
-a
.l0
=
l
a
+
-
1)a
]=
la
+
-
l)a=
l
+
-
l)]a
=
0a=
0.4．如果la
=0，则l
=0
或a
=0
.证明假设l
„0,那么1
(la
)=
1l
l0
=
0.l
a
=
a
.又1
(la
)=1l
l\
a
=
0.同理可证：若a
„0
则有l
=0.定义2 设
V
是一个线性空间，L是
V的一个非空子集，如果
L
对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称
L为
V的子空间．定理1 线性空间
V
的非空子集L
构成子空间的充分必要条件是：L对于
V中的线性运算封闭．解
(1)不构成子空间.
因为对112
0
R.0
a
+
b
+
c
=
0,
a,
b,
c
˛c(1)
W
=
1
b
0
b,
c,
d
˛
R
;
0
c d
a
b=
0(2)
W例8
R2·3的下列子集是否构成子
空间?为什么?有1A
=
B
=
1
0
0
˛
W
0
0
0
0
0
ˇ
W
,0
0
0A
+
B
=
2即W1
对矩阵加法不封闭，不构成子空间.200
00
˛
W
,0(2)因
02即W
非空.对任意2
2
1
a
b
0
a
b
0
A
=
1
1
,
B
=
2
2
˛
W0
0
c
0
0
c有a1
+
b1
+
c1
=
0,a2
+
b2
+
c2
=
0,0c1
+
c2
a1
+
a2
b1
+
b2
00于是
A
+
B
=
满足a1
+
a2
)+
b1
+
b2
)+
c1
+
c2
)=
0,即A
+B
˛
W2
,
对任意k
˛
R有
ka1
kb1
0
0
0
kc1
kA
=
且ka1
+
kb1
+
kc1
=
0,2·3即
kA
˛
W2
,
故W2是R
的子空间.三、线性空间的基与维数已知：在Rn中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n
+1个向量都是线性相关的．问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间V
中，最多能有多少线性无关的向量？满足：a
1
,a
2
,
,a
n线性无关;V中任一元素a总可由a
1
,a
2
,
,a
n线性表示,那末,a1
,a
2
,,an
就称为线性空间V
的一个基,n
称为线性空间V
的维数.定义3 在线性空间
V
中，如果存在
n个元素a
1
,a
2
,
,a
n维数为n的线性空间称为n
维线性空间,记作Vn
.当一个线性空间V
中存在任意多个线性无关的向量时，就称V
是无限维的．若a
1
,a
2
,,an为Vn的一个基,则Vn可表示为Vn
=
{a
=
x1a
1
+
x2a
2
+
+
xna
n
x1
,
x2
,,
xn
˛
R}(
)1
2nx
,
x
,,
x
.基下的坐标
,
并记作
a
=有序数组x1
,x2
,,xn称为元素a在a1
,a
2
,,an这个T数x1
,x2
,,xn
,使a
=
x1a
1
+
x2a
2
+
+
xna
n
,设a
1
,a
2
,,an是线性空间Vn的一个基,对于任一元素a
˛
Vn
,总有且仅有一组有序4
1
2
3例9
在线性空间P[x]
中,
p
=1,
p
=
x,
p
=
x2,p
=x3,p
=x4就是它的一个.基4
5任一不超过4次的多项式p
=
a4
x4+
a3
x3
+
a2
x2
+
a1
x
+
a0可表示为p
=
a0
p1
+
a1
p2
+
a2
p3
+
a3
p4
+
a4
p5因此p
在这个基下的坐标为(a
,
,
,
,
)T0
a1
a2
a3
a4注意5q
=x4
,则2
3若取另一基
q1
=
1,
q2
=
1
+
x,
q3
=
2
x
,
q4
=
x
,11(a0-a1,
a1,
2a2,
a3,
a4)p
=
(a0
-
a1
)q1
+
a1
q2
+
2
a2
q3
+
a3
q4
+
a4
q5因此p
在这个基下的坐标为T坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．线性空间V的任一元素在不同的基下所对的0
1
0
0=
,
=
1
0
0
0
,
0
0
0
1=
,
=
0
0
1
022211211EEEE,
k
3
k
4
k1
k
2
k1
E11
+
k
2
E12
+
k
3
E
21
+
k
4
E
22
=
有例10
所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域R上的一个线性空间．对于V中的矩阵2
12
3
21
4
221
11
0
0+
++=
O
=
,
0
0k
E
k
E
k
E
k
E因此11
12a22
a21
a
a
A
=
˛
V
,k1
=
k
2
=
k
3
=
k
3
=
0,即E11
,E12
,E
21
,E
22线性无关.对于任意二阶实矩阵A
=
a11
E11
+
a12
E12
+
a21
E
21
+
a22
E
22有因此E11
,E12
,E
21
,E
22为V的一组基.而矩阵A在这组基下的坐标是(a
,
,
, )T
.11
a12
a21
a22)
.2!(n-1)!f
''(a)(
f
(a),
f
'(a),f
(
n
-1)(a),
,因此f
(x)在基e1
,e2
,e3
,,en
下的坐标是T则由泰勒公式知1
2
3
n2
n-1e
e
e
e=1,
=(x
-a),
=(x
-a)
,,
=(x
-a)例11
在线性空间R[x]n中,取一组基2!(n
-
1)!f
(
x)
=
f
(a)
+
f
'(a)(
x
-
a)
+
f
''(a)
(
x
-
a)2n
-1f
(
n
-1)
(a)+
+
(
x
-
a)a
=
a1
a
1
+
a2
a
2
+
+
ana
nb
=
b1
a
1
+
b2
a
2
+
+
bna
n设即向量a
,
b
˛
V在基a
1
,a
2
,,a
n
下的坐标分别为T
T(a1,a2,,an)
和(b1,b2,,bn)
,则a
+
b
=
(a1
+
b1)a
1
+
(a2+
b2)a
2
+
+
(an
+
bn)a
nka
=
k
a1a
1
+
k
a2a
2
+
+
k
ana
n于是a
+b与ka的坐标分别为T(a1+b1,a2+b2,,an+bn)T
T=
(a1,a2,,an)
+
(b1,b2,,bn)T
T(ka1,ka2,,k
an)
=
k
(a1,a2,,an)四、基变换与坐标变换问题：在n
维线性空间V中，任意n
个线性无关的向量都可以作为V
的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？定义4
设a1,a2,,an及b1,
b2,,
bn是线性空间Vn的,
b
=
p
a
+
p
a
+
+
p
a2
12
1
22
2
n2
n两个基,且有
b1
=
p11a1
+
p21a
2
+
+
pn1a
nbn
=
p1na1
+
p2na
2
+
+
pnna
n称此公式为基变换公式．bn
=
p1na1
+
p2na
2
+
+
pnna
n
b
=
p
a
+
p
a
+
+
p
a2
12
1
22
2
n2
n
b1
=
p11a1
+
p21a
2
+
+
pn1a
n由于
nn
n
n
b
p
p
p
a
2n1npn2
a
2
pn1
a1
p11
p21p22
b2
=
p12
b1
n
aPT
a
2
.
a
1
b1
,
b2
,,
bn
)=
a1
,a
2
,,an
)P基变换公式在基变换公式(b1
,
b2
,,
bn
)=
(a
1
,a
2
,,an
)P中,
矩阵P
称为由基
a1,a2,,an
到基
b1,b2,,bn的过渡矩阵．过渡矩阵P是可逆的．若两个基满足关系式b1
,
b2
,,
bn
)=
a1
,a
2
,,an
)Pn(x
',x
',,x
')
,(x
,x
,,x
)
,211
2
n为在基b1,b2,,bn下的坐标为T定理2
设Vn中的元素a,
在基a1,a2,,an下的坐标T则有坐标变换公式
n
n
x1
'
x
x
'
x2
=
P
x2
',
x1
n
n
x
x1
x
'
x2
'
=
P
-1
x2
.
x1
'
或证明
x
x
2
x1
1
2
na
=
(a
,a
,,a
)()
21
2nn
x
'
x
'
x1
'
=
b
,
b
,,
b
n
b1
,
b2
,,
bn
)=
a1
,a
2
,,an
)P.21
221
2
n
n
xn'x
'
x1'
xx
x1
n
a
,,=(a
,
a
)P\
(a
,a
,,a
)
x1'
x
x
'
x2
=
P
x2'.
x1
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