计算机控制技术课件第2章

计算机控制技术第二章计算机控制系统基础计算机控制系统的采样及信号特点

——计算机控制系统的信号形式

——信号的采样、采样周期和采样定理

——信号的保持计算机控制系统的数学模型——Z变换与数学模型第1节

计算机控制系统的采样及信号特点计算机控制系统的信号形式信号的采样、采样周期和采样定理信号的保持一、计算机控制系统信号形式模拟信号：时间与幅值上均连续，如：y(t)、u(t)离散模拟信号：时间离散，幅值连续，如：y*(t)数字信号：时间离散，幅值为数字量，如：y(kT)、u(kT)量化模拟信号：时间连续，幅值为连续量化的信号，如：u*(t)二、信号的采样、采样周期和采样定理采样信号y*(t)可以描述为：（2-1）其中表示发生在时刻的理想采样脉冲。假设y*(t)与采样时刻无关则上式可以描述为：（2-2）采样过程二、信号的采样、采样周期和采样定理香农采样定理：原信号频率的最高频率为

，采样频率为，则采样定理指出，采样信号y*(t)唯一地复现原信号

y(t)所必需的最低采样频率必须满足。

也即采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两倍，才能根据采样信号y*(t)唯一地复现原信号y(t)

。的选择应保证的间隔内，原信号基本保持不变，同时应尽可能小些，以便在采样时间T以内实现多路采样。三、信号的保持零阶保持器的信号保持过程保持器的原理是根据现在或过去时刻的采样值，用常数、线性函数和抛物线函数等去逼近两个采样时刻之间的原信号。

相保持器可分为零阶保持器、一阶保持器和高阶保持器。，，···三、信号的保持零阶保持器的信号恢复，，···零阶保持器的传递函数：（2-3）式中，T为采样周期，s为拉普拉斯（Laplace）算子。

计算机控制系统中，D/A转换器通常具有零阶保持器的功能。三、信号的保持，，···一阶保持器具有一阶多项式的形式，即（2-4）由于

令t=0和t=-T，可以得到故一阶保持器可用下式来描述（2-5）第2

节

计算机控制系统的数学模型Z变换数学模型一、Z变换

（一）Z变换的定义设连续函数y(t)是可以进行拉氏变换的，它的拉氏变换被定义为：（2-6）y(t)被采样后的脉冲采样函数y*(t)为：（2-7）它的拉氏变换式为：（2-8）一、Z变换

根据广义脉冲函数δ(t)的性质：（2-9）所以（2-10）Y*(s)是脉冲采样函数的拉氏变换式，因复变量s含在指数e-skT中不便计算，故引进一个新变量。令（2-11）一、Z变换将式（2-11）代入（2-10）中，可以得到以z为变量的函数，即（2-12）式（2-12）只能表征连续时间函数y(t)在采样时刻上的特性，而不表征采样点之间的特性。我们习惯称Y(z)是y(t)的Z变换，指的是y(t)经采样后y*(t)的Z变换，即（2-13）一、Z变换Z变换的非一一对应性：任何采样时刻为零的函数φ(t)

与y(t)相加，得曲线y(t)+φ(t)，将不改变y*(t)的采样值，因而他们的Z变换相同。采样时刻为零值的函数φ(t)的影响一、Z变换

1.级数求和法它是利用式（2-13）直接展开而得，下面举例说明。【例2-1】求单位阶跃函数1(t)的Z变换。单位阶跃函数序列（二）Z变换的方法一、Z变换

解：单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻的值均为1，即：代入式（2-13）中，得：（2-14）将式（2-14）两边乘以z-1，有：（2-15）上两式相减，得：（2-16）所以（2-17）一、Z变换

2.部分分式法设连续函数y(t)的拉氏变换Y(s)为有理函数，具体形式如下：（2-18）式中，M(s)与N(s)都是复变量s的多项式，若将Y(s)分解成部分分式形式：（2-19）它是相应的连续时间函数，y(t)为诸指数函数Aie-ait之和，这样利用已知的典型函数Z变换，便可求出环节和系统的Z变换。一、Z变换

【例2-2】求

的Z变换解：因为

与

相对应的连续时间函数是1(t)，相应的Z变换是

，它与

相对应的连续函数是e-at，相应的Z变换是

，因而：一、Z变换

3.留数计算法已知连续时间函数y(t)的拉氏变换式Y(s)及全部极点si(i=1,2,3,…,m)，y(t)的Z变换可由下面留数计算公式求得：（2-20）（1）单极点情况：（2-21）（2）n阶极点情况：（2-22）一、Z变换

【例2-3】求

的Z变换解：上式有两个单极点s1=-1，s2=-3，利用式（2-21）可得：二、数学模型

（一）差分方程（2-24）式中，k=0,1,2,…，表示采样时刻；n为差分方程的阶次，且要求m≤n。不失一般性，可设a0=1。常用的数学模型差分方程脉冲传递函数权序列离散状态空间方程二、数学模型

（二）脉冲传递函数脉冲传递函数又称为Z传递函数，其定义为：在零初始条件下，系统输出采样函数的Z变换和输入采样函数的Z变换之比。开环采样系统开环脉冲传递函数：（2-25）若已知系统的脉冲传递函数G(z)及输入信号的Z变换X(z)，则输出响应就可求得，即（2-26）二、数学模型

（三）权序列（单位脉冲响应）单位脉冲序列{δ(k)}的定义是：（2-27）若输入序列为任意一个{u(k)}，则根据卷积公式可得此时的系统输出响应y(k)为：（2-28）二、数学模型

（四）离散状态空间方程线性定常离散系统的状态空间模型可以描述为：（2-29）X(k)为n维状态向量；U(k)为m维控制向量；Y(k)为p维输出向量；A为n×n系统矩阵；B为n×m输入矩阵；C为p×n输出矩阵；D为p×m前馈矩阵。二、数学模型

若已知离散状态方程，则可以通过Z变换求出脉冲传递函数。对式（2-