华东师大九年级上册数学全册教学课件(2021年秋整理)

华师大版数学九年级上册全册教学课件2021年秋修订第21章二次根式学习目标：1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解（a≥0）是非负数和.3.理解

（a≥0）并利用它进行计算和化简.学习重点：1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.2.（a≥0）是一个非负数；（a≥0）及其运用.3.学习难点：利用“（a≥0）”解决具体问题.1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，斜边的边长应该是_____cm；2.面积为S

的正方体边长为_____。新课导入问题引进了一个记号。表示什么？a

应满足什么条件？回顾当a

是正数时，表示a

的算术平方根，即正数a

的正的平方根.当a

是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a

是负数时，没有意义.a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.（a

≥0）是一个非负数，即

概括性质1：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.51003练习二次根式必须具备以下特点：（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于0。注意指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是,为什么?√×××

x

是怎样的实数时，二次根式有意义？例分析要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数.解被开方数x–1≥0，即x

≥1.所以，当x

≥1时，二次根式

有意义.练习x

是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）（2）（3）（4）被开方数x+3≥0，即x

≥-3.x>

0x<

1思考等于什么？不妨取a

的一些值，如2，–2，3，–3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律.……概括性质2：随堂演练1.解：解：（1）3；（2）4；（3）5；（4）3；3.若–3≤x≤2时，试化简由–3≤x≤2可得x–2≤0x+3≥0∴原式=–(x–2)+(x+3)=5课堂小结二次根式概念性质形如（a≥0）的式子叫做二次根式.性质1：性质2：课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.谢谢大家21.2二次根式的乘除学习目标：理解（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简.学习重点：（a≥0，b≥0）及它的运用.学习难点：发现规律，导出（a≥0，b≥0）.新课导入计算：观察计算的结果，你能发现什么？（1）与；（2）与；==思考与呢？用计算器分别计算一下，看看两者是否相等.你能说出道理吗？=推进新课事实上，根据积的乘法法则，有并且所以是2×3的算术平方根，即一般地，有这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.概括计算：例解练习计算：C随堂演练2.等式成立的条件是（）A.x

≥1B.x≥–1C.–1≤x≤1 D.x≥1或x

≤–1解：由x–1≥0，x+1≥0得x≥1A3.下列各等式成立的是（）D一般地，有这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.课堂小结课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出

，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.谢谢大家2.积的算术平方根学习目标：1.理解

（a≥0，b≥0）；2.运用（a≥0，b≥0）.学习重点：（a≥0，b≥0）及其运用.学习难点：（a≥0，b≥0）的理解与应用.复习导入计算：这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.一般地，对二次根式的乘法规定为（a≥0，b≥0）.反过来，推进新课例化简，使被开方数不含完全平方的因数。12=22×3完全平方的因数22解例化简，使被开方数不含完全平方的因数。练习1.比较下列各式，并将所得的结果化简：×2.判断下列各式是否正确，不正确的请改正:×积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥01.化简：解：随堂演练1.化简：解：2.自由落体的公式为

（g

为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为120m，则下落的时间是________s.一般地，有课堂小结这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.谢谢大家华东师大版九年级上册3.二次根式的除法学习目标：1.理解和(a>0，b>0)，并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.学习重点：1.理解(a>0，b>0)及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用.学习难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.复习导入二次根式的乘法规定两个根式相除，怎样进行计算呢？商的算术平方根又等于多少？及逆向公式填空：推进新课规律：====思考利用计算器计算填空：====一般地，有这就是说，两个算术平方根的商，等于_______________________________.它们被开方数的商的算术平方根分母不能为0.这里为什么要求a

≥0，b>0？概括例3计算：解还可以怎样化简？上述“概括”中的等式，也可以写成这就是说，商的算术平方根，等于___________________________.各因式算术平方根的商利用这个性质可以进行二次根式的化简.例4化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含字母.解二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。按照书中例题化简要求，化简后的二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2.像这样的二次根式称为最简二次根式.二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了.如例4，分母有理化练习化简：练习寻找分母的有理化因式，应找最简单的有理化因式，也可灵活运用我们学过的性质和法则，简化、优化解答过程.化简：1.化简：解：随堂演练2.已知，则a

的取值范围是___________.0<a

≤10<a

≤1二次根式的除法课堂小结二次根式的化简反过来，1.被开方数有分母时，注意分母的取值范围；2.进行二次根式乘除运算或化简时，结果要尽可能化简.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.谢谢大家21.3二次根式的加减华东师大版九年级上册学习目标：1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.学习重点：二次根式加减法的运算.学习难点：探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.复习导入计算下列各式：（1）2x+3x

（2）2x2-3x2+5x2（3）x+2x+3y

（4）3a2-2a2+a3问题：1.什么是同类项？2.同类项怎样合并？=5x=4x2=3x+3y=a2+a3计算：推进新课试一试联想整式加减运算中的合并同类项，你会做吗？概括与整式中同类项类似，我们把像

这样的几个二次根式，称为同类二次根式.也是同类二次根式.例1计算：解二次根式的加减，关键是将同类二次根式合并.思考计算：分析先将各二次根式化简：这里三个“加数”中有同类二次根式吗？解二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并.例2解计算：1.判断下列计算哪些正确，哪些不正确？慧眼识真不正确不正确不正确正确练习解：别漏了“1”.化简例3计算：解1.下列计算是否正确？为什么？不正确随堂演练不正确5正确2.以下二次根式：中，与是同类二次根式的是（）A.①和② B.②和③C.①和④ D.③和④C23.已知求下列各式的值.（1）x2+2xy+y2；

（2）x2

-

y2.解：（1）x2+2xy+y2=（x+y）2=12（2）x2

-

y2=（x+y）（x

-

y）1.同类二次根式课堂小结2.二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.谢谢大家章末复习华东师大版九年级上册复习目标：掌握本章重要知识，能熟练运用二次根式的有关运算法则进行运算.复习重点：回顾本章知识点，构建知识体系.复习难点：利用二次根式的有关运算法则、性质解决实际问题.知识结构二次根式的意义二次根式的化简二次根式的运算二次根式的性质要点巩固1.二次根式的意义理解符号的意义是研究二次根式的关键.

表示非负数a

的算术平方根，即有：要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数.2.二次根式的性质3.二次根式的化简（1）如果被开方数中含有完全平方的因数（或因式），可利用积的算术平方根的性质，将它们“开方”出来.（2）如果被开方数中含有分母，通常可利用分数（或分式）的基本性质将分母“配”成完全平方，再将它们“开方”出来.4.二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减.（1）二次根式的乘除（2）二次根式的加减二次根式相加减，通常应先将各个二次根式化简（化为最简二次根式），再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.典例精析例1若在实数范围内有意义，则x

的取值范围是_______________.①

有意义的条件为x+1≥0②

注意分母x

-2≠0x≥-1且x

≠2若

，则a+b

的值为______.例2分析利用非负数的性质可得a+b=33先对式子

进行化简，再代值，

已知

，求

的值.例3分析注意m

-

1<0这一隐含条件.解随堂演练1.代数式有意义的x

的取值范围为（）2x–1>0A2.下列运算正确的是（）5=3D3.若则x-y

的值为（）A.-1 B.1C.2 D.3x=1(x+y)2

=0y=-1C4.化简：-25.计算：6.已知求的值.课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二次根式的知识吗？能熟练进行二次根式的有关运算吗？你还有哪些困惑与疑问？课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，让学生对本章知识了然于胸，此外通过例题加以分析，加强对重点知识的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住重点.谢谢大家第22章一元二次方程学习目标：1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.学习重点：判定一个数是否是方程的根.学习难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解.什么叫做一元一次方程？只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a，b为常数，a≠0).复习导入绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？推进新课问题1我们已经知道可以运用方程解决实际问题．分析设长方形绿地的宽为x

米，不难列出方程：x

(x+10)=900，整理得x2+10x–900=0.（1）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.问题2

设这两年的年平均增长率为x

.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)

万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)

倍，即5(1+x)(1+x)=

5(1+x)2

(万册).可列得方程5(1+x)2=7.2，整理可得5x2+10x

-2.2=0.分析（2）思考得到的这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？x2+10x–900=0 （1）

5x2+10x

-2.2=0（2）共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2x2+10x–900=0 （1）

5x2+10x

-2.2=0（2）思考一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c

=0(a≠0)二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0概括只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

.x2+10x–900=0 （1）

5x2+10x

-2.2=0（2）指出方程（1）（2）的二次项系数、一次项系数和常数项.10–900110–2.251.判断下列方程是否为一元二次方程：①1–x2=0 ②2(x2–1)=3y③2x2–3x–1=0 ④⑤(x+3)2=(x–3)2

⑥9x2=5–4x是不是是不是不是是①方程是整式方程；②只含有一个未知数；③可化为

ax2+bx+c

=0（a≠0）的形式；小结：判断一个方程是否是一元二次方程，要把握三点：练习2.试比较下面两个方程的异同：

方程相同点不同点概念是否是整式方程未知数个数未知数的最高次数5x=20x2+10x–900=0是是1112一元一次方程一元二次方程3.已知关于x

的一元二次方程(m-2)x2

+3x+m2-4=0有一根是0，求m

的值.一根是0，即x=0，只需把x=0代入原方程.分析把x=0代入原方程得m2–4=0，即m=±2.又m–2≠0，∴m=–2.解随堂演练1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2–1=4x

（2）4x2=81（3）4x(x+2)=25（4）(3x–2)(x+1)=8x–3解：（1）5x2–4x–1=0；（2）4x2–81=0；5，–4，–14，0，–81（3）4x2+8x–25=0；4，8，–25（4）3x2–7x+1=0；3，–7，1.（3）4x(x+2)=25（4）(3x–2)(x+1)=8x–32.根据下列问题，列出关于x

的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x

；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x

；解：（1）4x2=25；（2）x（x–2）=100；一般形式:x2–2x–100=0；一般形式:4x2–25=0；（3）x·1=(1–x

)2；

一般形式：x2–3x+1=0.（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.3.若x=2是方程ax2+4x–5=0的一个根，求a

的值.解：∵x=2是方程ax2+4x–5=0的一个根.∴4a+8–5=0解得一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c

=0(a≠0)二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a≠0只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

.课堂小结课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题.谢谢大家22.2一元二次方程的解法学习目标：1.会用直接开平方法解形如a(x

-

k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.学习重点：利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.学习难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.1.如果x2=a

(a

≥0)，则x就叫做a

的________.2.如果x2=a

(a≥0)

，则x=______.3.如果x2=64(a≥0)

，则x=______.4.把下列各式分解因式：(1)

x2–3x_______________(2)_______________(3)2x2–x–3_______________x(x–3)(2x–3)(x

+1)平方根复习导入进行新课解下列方程：（1）x2=4；

（2）x2–1=0.试一试你是怎样解得？对于题（1），有这样的解法：方程

x2=4，意味着x

是4的平方根，所以即x=±2.概括这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=2，x2=–2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.对于题（2）x2–1=0,有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得

(x–1)(x+1)=0必有x–1=0或x+1=0分别解这两个一元一次方程，得

x1=1，x2=–1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法.使用两种方法解方程：x2–900=0.做一做（1）移项，得x2=900，直接开平方，得x

=±30，∴x1=30，x2=–30.（2）左边因式分解，得x+30=0或x

–30

=0，所以得

x1=30，x2=–30.(x+30)(x

–30)=0，例1解解下列方程：（1）x2–2=0；

（2）16x2–25=0（1）移项，得x2=2.直接开平方，得即（2）移项，得16x2=25.方程两边都除以16，得直接开平方，得即解解下列方程：（1）3x2+2x=0；

（2）x2=3x.（1）方程左边分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0.得例2（2）移项，得x2

–3x=0.方程左边分解因式，得x(x–3)=0.所以x=0或x–3=0.得x1=0，x2=3.（2）x2=3x解下列方程：（1）(x+1)2

–4=0；（2）12(2–x)2

–9=0.两个方程都可以通过简单的变形，化为(

)2

=a

(a

≥0)的形式，用直接开平方法求解.例3分析（1）原方程可以变形为(x

+1)2=4.直接开平方，得x+1=±2.所以x1=1，x2=–3.解你是这样解的吗？还有没有其他解法？（2）原方程可以变形为_______________________.直接开平方，得_______________________.所以x1=________，x2=________.小张和小林一起解方程

x(3x

+2)–6(3x

+2)=0.小张将方程左边分解因式，得

(3x

+2)(x–6)=0，所以3x

+2=0或x–6=0.得你知道吗？小林的解法是这样的：移项，得x(3x

+2)=6(3x

+2)，方程两边都除以(3x

+2)，得

x

=6.小林说：“我的方法多简便！”可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？3x

+2可能为0.随堂演练1.用直接开平方法解下列方程（1）3(x–1)2–6=0 （2）x2–4x+4=5（3）(x+5)2=25 （4）x2+2x+1=4解：（1）(x–1)2=2（2）(x–2)2=5（3）x1=0，x2=–10.（4）(x+1)2

=4x1=1，x2=–3.2.用因式分解法解下列方程：（1）

x2+x=0 （2）（3）3x2–6x=–3 （4）(x–4)2=(5–2x)2

解：（1）x(x+1)=0；（2）（3）(x

–1)2=0；x1=0，x2=–1.x1=x2=1.（4）(x–4)2=(5–2x)2

(x–4)2–(5–2x)2=0[(x–4)-(5–2x)]

[(x–4)+(5–2x)]

=0(3x–9)(1–x)=03(x–3)(1–x)

=0得

x1=3，x2=1.1.对于形如a(x–k)2=b(a≠0，b≥0)的方程，只要把(x–k)

看作一个整体，就可转化为x2=n(n≥0)的形式用直接开平方法解.2.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.课堂小结课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.谢谢大家华东师大版九年级上册2.配方法学习目标：1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.学习重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.学习难点：发现并理解配方的方法.回顾因式分解的完全平方公式完全平方式a2+2ab+b2=(a+b)2a2

–2ab+b2=(a

–

b)2复习导入进行新课解方程：x2+25=5.例4思考要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为(

)2

=a

的形式，那么，怎么实现呢？回想两数和的平方公式，有

a2+2ab+b2=(a+b)2.为此，通常设法在方程两边同时加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）.解原方程两边都加上1，得x2+2x+1

=6.即(x+1)2=6.直接开平方，得所以即将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.概括用配方法解方程：（1）x2–4x+1=0；（2）4x2–12x–1=0例5解原方程可化为x2

–

4x

=–1.配方（两边同时加上4），得

x2–2·x·2+22=–1+22

，即(x

–2)2=3.直接开平方，得所以（2）移项，得4x2

–

12x

=1.两边同时除以4，得配方，得即直接开平方，得所以思考题（2）中，注意到4x2=(2x)2

，方程移项后可以写成(2x)2–2·2x·3=1，可以怎样配方？试一试，并完成解答.(2x)2–2·2x·3+32

=1+32(2x–3)2=10解：配方，得即试一试用配方法解方程：x2+px+q=0（p2–4q

≥0）.直接开平方，得所以思考如何用配方法解方程：3x2+2x

–3=0？利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.总结随堂演练1.用配方法解下列方程：（1）2x2–4x–8=0解：（1）移项，得2x2

–

4x

=8.两边同时除以2，得x2–2x=4.配方（两边同时加上1），得

x2–2·x·1+12=4+12

，即(x

–1)2=5.直接开平方，得所以（2）移项，得配方（两边同时加上

），得即直接开平方，得所以解：2.如果

，求

的值.由非负数的性质可得解得所以课堂小结用配方法解方程：x2+px+q=0（p2–4q≥0）.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.谢谢大家华东师大版九年级上册3.公式法学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.学习重点：求根公式的推导和公式法的应用.学习难点：一元二次方程求根公式的推导.探索我们用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0).因为a≠0，方程两边除以a，得移项，得新课导入配方，得即因为a

≠0，所以4a2>0.当b2

–4ac

≥0时，直接开平方，得所以即由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.将一元二次方程中系数a、b、c

的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.这里为什么要强调b2–4ac≥0？如果b2–4ac<0会怎样？无解推进新课解下列方程：（1）2x2+x

–6=0；

（2）x2+4x=2；（3）5x2

–4x–12=0；（4）4x2+4x+10=1–8x.例6解（1）a=2，b=1，c=–6，b2

–4ac=12

–4×2×（–6）=1+48=49>0，所以即用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c

的值.2、求出b2–4ac

的值.3、代入求根公式:4、写出方程的解：x1、x2.特别注意:当b2–4ac<0时无解.解（2）将方程化为一般形式，得x2+4x–2=0.因为

b2

–4ac=24，所以即（3）因为

b2

–4ac=256，所以即（4）整理，得4x2+12x+9=0.因为

b2

–4ac=0，所以即这里b2–4ac=0，方程有两个相等的实数根.思考根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下.直接开平方法因式分解法配方法公式法应用现在我们来解决22.1节中的问题1：x(x+10)=900，x2+10x–900=0，它们都是所列方程的根，但负数根

x2

不符合题意，应舍去.x+10≈

35.4，符合题意，因此绿地的宽约为25.4米，长约为35.4米.随堂演练用公式法解下列方程：（1）x2+x–12=0（3）x2+4x+8=2x+11（4）x(x–4)=2–8x（3）x2+4x+8=2x+11解：移项化简，得x2+2x–3=0（4）x(x–4)=2–8x解：移项化简，得x2+4x–2=0课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.将一元二次方程中系数a、b、c

的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.谢谢大家华东师大版九年级上册4.一元二次方程根的判别式学习目标：1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.学习重点：根的判别式的正确理解与运用.学习难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.回忆我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到当b2–4ac≥0时，直接开平方，得新课导入（✻）也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a、b、c

满足条件b2–4ac≥0时才有实数根.因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.观察方程，我们发现有如下三种情况：（1）当b2–4ac>0时，方程

（✻）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：分析推进新课（✻）（2）当b2–4ac=0时，方程

（✻）的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：（3）当b2–4ac<0时，方程

（✻）的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边

，因此方程没有实数根.概括这里b2–4ac

叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0)的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.解下列方程：（1）3x2=5x

–2；

（3）4(y2

+4)–y=0；例7解（1）原方程可变形为3x2–5x+2=0.因为Δ=

(–5)2–4×3×2=25–24=1>0，所以方程有两个不相等的实数根.计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.（2）因为Δ=

_________________________，所以方程________________________.解下列方程：（1）3x2=5x

–2；

（3）4(y2

+4)–y=0；例7有两个相等的实数根（3）原方程可变形为___________________.因为Δ=_______________________________，所以方程______________.解下列方程：（1）3x2=5x

–2；

（3）4(y2

+4)–y=0；例74y2–y

+16=0

(–1)2–4×4×16=1–256=–255没有实数根试一试已知关于x

的方程2x2

–

(3+4k)x+2k2+k=0.当k

取何值时，方程有两个不相等的实数根？当k

取何值时，方程有两个相等的实数根？当k

取何值时，方程没有实数根？解：因为Δ=

[–(3+4k)]2–4×2×(2k2+k)

=16k+9.

方程有两个相等的实数根.方程没有实数根.当16k+9<0，

方程有两个不相等的实数根.当16k+9>0，当16k+9=0，随堂演练1.方程x2

–4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根B2.已知x2+2x=m

–1没有实数根，求证：x2+mx=1–2m

必有两个不相等的实数根.证明：∵x2+2x+1–m=0没有实数根.∴Δ=4–4(1–m)=4m<0，∴m<0.对于方程x2+mx=1–2m，即x2+mx+2m–1=0，Δ=m2–8m+4，∵m<0，∴Δ=m2–8m+4=(m-4)2-12>0，∴x2+mx=1–2m

必有两个不相等的实数根.2.用判别式判定一元二次方程根的情况当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.课堂小结1.根的判别式Δ=b2–4ac课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.谢谢大家华东师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.学习重点：根的判别式的正确理解与运用.学习难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.求出一元二次方程x2+3x

–4=0的两根x1

和x2，计算x1+x2

和x1·x2

的值.它们与方程的系数有什么关系？新课导入试一试x2+3x

–4=0的两根为x1=1和x2=–4，于是x1+x2

=–3，

x1·x2=–4.x2+3x

–4=0二次项系数为1一次项系数常数项相反数相等对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？探索我们来考察方程x2+px+q=0（p2–4q

≥0）.由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为推进新课所以概括二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=–p

，x1·x2=q.不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：（1）x2+3x

–5=0；

（2）2x2

–3x–5=0；例8解（1）设两根为x1、x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2=–3，x1·x2=–5.（2）方程两边同除以2，得设两根为x1、x2

，可得试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2

–4ac

≥0)的根与系数的关系.例9解方程两边同除以a

，得由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系.前面概括的结论是它的特例（二次项系数为1）.随堂演练1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）(x+1)(x–2)=0；（2）3x2+7x=6.（1）x1+x2=1，x1·x2=–2.x2

–x–2=03x2+7x

–6=02.两根均为负数的一元二次方程是（）A.7x2–12x+5=0B.6x2–13x–5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x–8=0Cx1+x2<0，x1·x2>0.3.已知α，β

是方程x2–3x–5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.（2）α2+β2

（3）α–β（2）α2+β2=(α+β)2–2αβ=32

–2×(–5)=19；（3）(α

–

β)2=

(α+β)2–4αβ=29，课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2

–4ac

≥0)的根与系数的关系：课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.谢谢大家22.3实践与探索华东师大版九年级上册学习目标：使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.学习重点：列一元二次方程解决实际问题.学习难点：寻找实际问题中的等量关系.复习导入列方程解应用题的一般步骤：1.分析题意，设未知数；2.找出等量关系，列方程；3.解方程；4.看方程的解是否符合题意；5.作答.学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？推进新课问题1问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图22.3.1，分析不难发现小道的占地面积与位置无关.图22.3.13220设小道宽为xm，则两条小道的面积分别是32xm2

和20xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2m2，根据题意，得

32×20–32x–20x+x²=540.图22.3.13220xx图22.3.23220如果设想把小道平移到两边，如图22.3.2所示，小道所占面积是否保持不变？试一试xx处理问题更方便！由题意可得：(20–x)(32–x)=540解得x1=50，x2=2由题意可得x＜20，∴x=2.图22.3.23220xx在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意：1.分析题意，抓住等量关系；2.列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决；3.求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答.某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.问题2若每次降价的百分率为x

，则第一次降价后：56(1–x)元第二次降价后：56(1–x)(1–x)元分析这与讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？设每次降价的百分率为x，根据题意，得56(1–x)2=31.5.解这个方程，得x1=0.25，x2=1.75.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意.经检验，x=0.25=25%符合本题要求.答：每次降价的百分率为25%.解小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图.问题3（1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折叠成的长方体底面积（cm2）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折叠成的长方体侧面积（cm2）0.52.5131.53.5241832424850484232探索以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？问题4翻一番，即为原产值的2倍.若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位.分析(1+x)2=2解：设平均年增长率为x.探索如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？(1+x)2=1.5(1+x)2=1.2解：设平均年增长率为x.又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？(1+x)(1+2x)=2解：设第一年的增长率为x.随堂演练1.如图，一个院子长10m，宽8m，要在它的里面沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度.解：设这花圃的宽度为x

，依题意，得(10–2x)(8–x)=10×8×(1–30%)

解得x=1答：这花圃的宽度为1m.2.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg，2013年平均每公顷产量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设年平均增长率为x，则有7200(1+x)2=8450，解得即年平均增长率为8%.1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n

次后的量是b，则有：a(1±x)n=b（常见n=2）.课堂小结课后作业1.从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题.教学反思本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识.谢谢大家章末复习华东师大版九年级上册复习目标：掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.复习重点：一元二次方程的解法及应用.复习难点：一元二次方程的应用.知识结构实验问题直接开平方法公式法因式分解法一元二次方程分析数量关系配方平方根一元二次方程一元二次方程的解法一元二次方程的根根的判别式根与系数的关系1.一元二次方程的解法释疑解惑方法名称理论根据使用方程的形式直接开平方法配方法公式法因式分解法平方根的定义完全平方公式配方法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0x2=p

或(mx+n)2=p(p

≥0)所有的一元二次方程所有的一元二次方程一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程①②③优先选择2.一元二次方程根的判别式Δ=b2–4ac（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ<0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定Δ的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：（1）a≠0，（2）Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.典例精析用适当的方法解下列方程（1）x2+12x+27=0（2）x(x–2)+x–2=0（3）x2+x–2=4（4）4(x+2)2=9(2x–1)2例1（1）(x+3)(x+9)=0x1=–3，x2=–9.（2）(x+1)(x–2)=0x1=–1，x2=2.解（3）x2+x–6=0(x–2)(x+3)=0解得

x1=2，x2=–3.（4）32x2–52x–7=0(4x–7)(8x+1)=0关于x

的方程ax2–(3a+1)x+2(a+1)=0，有两个不相等的实数根x1，