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文档简介
4.尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数a,其关系为1aaF
(
w
)f
(
t
)
«
F
(
w
)证明:则
f
(
at
)
«f
(at)e-
jwt
dt¥-¥F[
f
(at)]
=)
1
1a
awawf
(x)e dx
=
F
(
jF[
f
(at)]
=¥-¥a-
j
x令x=at，则dx=adt
，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。w2
At2F
(2w
)tp
0
p
t-0wAtF
(w
)t2pt2p-f
(2t)tA4t
t4-2f
(
1
t)t-0f
(t)tt2t2-0w21
At1
F
(
1
w
)2
24p
tt4p-212F
(2w)f
(
t)
«F
(w)f
(t)
«1
F
(
1
w)2
2f
(2t)
«例：尺度变换变换后语音信号的变化f
(t)
f
(1.5t)
f
(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.40.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)等效脉宽与等效频宽¥f
(t
)e-
jw
t
dt-¥¥-¥F
(w
)
=f
(t
)dt
=F
(0)等效频宽2πF(w
)ejw
t
dw¥-¥¥-¥f
(t)
=
1
F
(
f
)df
=
f
(0)等效脉宽fBf
(0
)
t
=
F
(
0
)F
(0
)
B
f
=
f
(
0
)=
1t*反比特性的物理意义a．函数f(at)表示函数f(t)在时间刻度上压缩a倍，同样表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然．b．脉宽·频宽＝常数F
(0
)
=
f
(0
)tf
(0)
=
F
(0)B
f
aF
w
5、时移特性若则00¥-¥-
jw
t¥-¥f
(
x)e-
jw
(
x+t0
)dxf
(
x)e-
jw
xdx
=
e-
jw
t0
F
(w
)=
e证明：x
=t
-t0F[f
(t
-
t
)]=00F
(w
)-
jw
t\
F
[f
(t
-
t
)]=
eF
[f
(
t
)
]=00F
(
w
)F
[
]
F
(w
)
e-
jw
tf
(
t
-
t
)
=带有尺度变换的时移特性0)
eF
(1aw
tawa-
jFT
[f
(
at
-
t
0
)
]=)1000aF
(adxf
(
x
)
eea1aaaww-
j
w
t
0-
j
(
)
t¥-
¥-
j
w
t
0¥-
¥f
(
x
)
e
-
jw
(
x
+
t
0
)
/a
dx¥-
¥=
e=t
=
(
x
-
t
0
)
/
a=
1x
=
at
-
ta
>
0f
(
at
-
t
)
e
-
jw
tdtFT
[
f
(
at
-
t
)]
=a
若a<0,则有绝对值变换的性质,求f
(t)以
2
为轴反褶后得f
(t)的傅立叶变换。t
01
2例题六:p167.3
-21题：已知f1
(t)=F1
(w),利用傅立叶f1
(t)0t020ttf
2(t)0
0
2tt0t01
0
1-
jwtF[
f
(-t
+
t
)]
=
F
(-w
)e解：方法一：
F[f1
(-t)]=F1
(-w
)f1
(－t)2t–
0
t0tf1
(－t＋t0
)0
0
0
2tt0tF
(w
)e
jwt0F
(-w
)e-
jwt0f
(t
+
t0
)
«\
f2
(t)
«F
(-w
)f
(-t)
«方法二：
f
2
(t)
=
f1
(-t
+
t0
)
=
f1[-(t
-
t0
)]根据傅立叶变换的性质：例题七:求下列时域函数的频谱的带宽-11f1
(t)1t1t2f2
(t)
1Bf
=1/t
=1时移不影响带宽Bf
=1/t
=1t
=1012-
jwtF
(w
)
=
F
(w
)
e例题八:p130例3-2:求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号0f
(t))0wt2F
(w
)
=
Et
Sa(f
(t)
=
f0
(t)
+
f0
(t+
T
)
+
f0
(t
-
T
)其频谱为2=
Et
Sa
(
wt
)(1
+
2
cos
w
T
)=
F0
(w
)(1
+
2
cos
w
T
)jw
TF
(w
)
=
F0
(w
)(1
+
e+
e
-
jw
T
)2000+
w
)
+
F
(w
-
w
)]f
(
t
)
cos
w
t
«
1
[
F
(w2000+
w
)
-
F
(w
-
w
)]f
(
t
)
sin
w
t
«
j
[
F
(wF
(w
)if
.
f
(t
)
«F
(w
)
cos
w
T21Then
,[
f
(t
+
T
)+
f
(t
-
T
)]
«6.频移特性----调制(p133-135)若
f
(t
)
«
F
(
w
)则
f
(t
)
e
jw
c
t
«
F
(
w
-
w
)cp133
,
(
3
-
65
)[例9]试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0
t相乘后信号2F
(
jw
)
=
At
Sa(wt)2
20
0
0F[
f
(t)
cosw
t]
=
1
F[
j(w
-w
)]
+
1
F[
j(w
+w
)]应用频移特性可得的频谱函数。[解]
已知宽度为t的矩形脉冲信号对应的频谱函数为=
1
{At
Sa[
(w
-w
0
)t]
+
At
Sa[
(w
+w
0
)t]}2
2
20wF
(
jw
)0w
0-w
0wF
(
jw
)0t
/
2t-t
/
2f
(t)At
/
2
A
t-t
/
2f
(t)
cosw
0t例题10:P167.3-24
f
(t)
=
f1(t)cosw0t2t1
wt
1]4402021t(w
-w
)t4(w
+w
)t+Sa[Sa\
F(w)
=F
(w
)
=
Sa
(
)
22
4-
tt2tf
(t)0FT
[
f
(
t
)
cos
w
0
t
]20
0
0
01
[
F
(w
-
w
)
+
F
(w
+
w
)]FT[
f
(t)]
=
F0
(w
)21
f
(t)[e
jw
0t
+e-
jw
0t
]0F0
(w
)w21
F0
(w
)F
(w
)-w
0
w
0频移特性w21
F0
(w
)21000jw
t-
jw
t(e
+
e
)cos
w
t
=f
(t)1
e
jw
0t2f
(t
)e012-
jw
t201
F
(w
-
w20)
1
F
(w
+
w
)20
01
[F
(w
-w
)
+
F
(w
+w
)]载波频率w
0傅立叶变换的微分时间微分特性F
(w
)若
f
(t)
«则jw
F
(w
)df
(t)
«及ndt
ndtd
n
f
(t)«
(
jw
)
F
(w
)证明请见p134b.频率微分特性若F
(w
)f
(t)
«(
-
jt
)
f
(
t
)则
dF
(w
)
«f
(
t
)nn«
(
-
jt
)d
wd
wd
n
F
(w
)及[2pd
(w
)]2pd
(w
)dwd\
t
«
2pjd
'
(w
)(－
jt
)
f
(t
)
«解:1
«例一：求
F
[t
]?积分特性时间积分特性公式A若
f
(t)
«
F
(w
)
,则
1
F
(w
)jwt-¥f
(t)dt
«条件:|
<
¥w=0F
(w)w(此条件的解释见p135
-136)或
F
(0)
=
0
(等效于满足绝对可积)t设j
(t)=
f
(t)dt-¥仅当
j
(t)
满足狄氏条件,亦即j
(t)
是绝对可积的,上述时间域中积分的结论才有效.即要
-¥
-¥-¥¥
¥
t|
f
(t)dt
|
dt
fi|j
(t)
|
dt
=有限则必须使
limj
(t)
=
0
即-¥tt
fi
¥lim
|
f
(t)dt
|=
0t
fi
¥时才有此结论.这等效为:limf
(t)dt
=
lim[=
lim
F(w)
|w
=0
=
F(0)
=
0t
fi
¥¥-¥¥-¥w
=0f
(t)e-
jw
t
dt
]
|t
fi
¥
t
fi
¥由傅立叶变换对可知:¥-¥¥-¥F
(w
)dw
1
2pf
(0)
=f
(t)dtF
(0)
=当lim
f
(t)
=
0tfi
–¥当
lim
F
(w
)
=
0w
fi
–¥证明:令-¥tj
(t)
=dtf
(t)dt或
dj
(t)
=
f
(t)F
(
jw
)若
j
(t)
满足狄氏条件,即
j
(t)
«jw
F
(
jw
)则
f
(t)
«即F
(jw
)=jw
F
(jw
)tf(t)dt«
1
F(jw)
证毕。jw\jw\
F
(
jw)
=
1
F(
jw)-¥例二.P168
(3-25)f
(t)E022-
t
-
t122tt1
t2t-21t-f
'(t)t1
t2
2
2E
t
-t1解:
f
(–¥
)
=
0\上述公式可用.22t-t1+d(t
-t)]-d(t
+t1
)
-d(t
-t1
)2
2f
"(t)
=
2E
[d(t
+t)2-t2-t121tt2f
"(t)
2E
t-t12222E2EF[
f
"(t)]jwt1jwt2(2
cos
wt
-
2
cos
wt1
)
=
F"(
jw
)2
2t
-t1=-
e
-
e
)(e
+
et
-t1=-
jwt1-
jwt2(cos
cos2112=
E(t+t1)
saw(t+t1)
saw(t-t1)2
4
44E
wt-
wt1
)(
jw)2
w
t-tF(
jw)
=
F"(
jw)
=-
1当1t
=
2tF
(w
)时
为42
4111sasa3t
E
3t
w
t
wF
(w
)
=根据两个抽样函数相乘,可大致画出频谱4p3t123t1E3t
14
p3t18p4pt12)公式BF
(0)
„
0意味着f(t)不是能量信号,则f(t)积分的傅立叶变换必须包含一个冲激函数.jwtf
(t)dt
«
1
F
(
jw
)
+pF
(0)d(w
)\-¥21dt)
f
(t
)d
]e=
F1
(w
)F2
(w
)F[
f1
*
f
2
]
=-
jwt¥
¥[
f
(t
-t
t-¥
-¥
用卷积定理来证明或见
p135的证明。-¥¥-¥f
(t)u(t
-t)dtf
(t)dt
=
f
(t)*
u(t)
=
t«
F
(
jw
)[
1
+pd
(w
)]jw证明了上述的结果.f
(t)11
1t0t0f
'
(t)f
(¥
)
=
1例三：P137
例3-7t0
=
1此时\B式通用.解：f
(t)=t[u(t)-u(t
-1)]+u(t
-1)d(t
-
a)
f
(t)
=
d(t)
f
(t
+
a)f
'(t)
=
u(t)
-u(t
-1)
+t[d(t)
-d(t
-1)]+d(t
-1)=
u(t)
-u(t
-1)d(t)t
=
d(t)0
=
0w
=0jwF[
f
'
(t)]
=
|w
=0
=1(t
-1)d(t
-1)
=
d(t)(t
-1+1)
=
d(t)tf
"(t)
=
d(t)
-d(t
-1)1-
e-
jwF{
f
"(t)}
=1-
e-
jw
|
=
02222)w2
(1
wjwsa(
)ejw
2(
jw)(
jw)-
jw-
jw-
j=pd(w)
+e
2
-e=pd(w)
+e1-e-
jw=pd(w)
++pF[
f
'(t)]|w
=0
d(w)1-e-
jw\
F(
jw)
=(
jw)2-¥jw\
f
(t)
«f
(-¥
)
=
-1;
f
(¥
)
=
1f
'
(t)
«
1
+f
(t)
=
-u(-t)
+
u(t
-1)f
'
(t)
=
d(t)
+
d(t
-1)jwf
'(t)dt
«
F(
jw)
+[f
(¥
)
+
f
(-¥
)]pd(w)1
+
e-
jwe-
jw3）公式Ct1-1f
(t)tf
'
(t)d(t)d(t
-1)00
1tf
(-¥
)
„
0jw\
f
(t)
«
1
(1
+
e
-
jw
)\
pd(w
)e
-
jw
=
pd(w
)e
-
j
0
=
pd(w
)+
pd(w
)]e
-
jwf
(t)
=
-u(-t)
+
u(t
-1)F
(w
)
=
-[-
1
+
pd(w
)]
+[
1jw
jw
f
(t)d(t)
=
f
(0)d(t)*.用叠加原理和时移特性来求解：用迭加原理将得出相同的结论。再来观察sgn(t)函数的傅立叶变换ttsgn(t)1-1sgn'
(t)2d(t)2;
f
(-¥
)
=
-1;
f
(¥
)
=12jwsgn'(t)
=
2d(t)
«f
(t)
=
sgn(t)
«*.注意积分常数的问题:dff
(
t
)
fidtdt
－fi¥dtdt
dtf
(
t
)
-
f
(
-¥
)d[0.5sgn(t)]
=
d(t)如:du(t)=d(t)t而:
d(t)dt
=
u(t)
„
sgn(t)-¥sgn(
t).但若考虑f
(-¥
)=-1
fi-¥tF
(
jw)jwf
(t)dt«A.
f
(¥
)
=
f
(-¥
)
=
0，A式运用B若f
(-¥
)=0,f
(¥
)=有限值-¥jwf
(t)dt
«
F
(
jw
)
+
pf
(¥
)d(w
)tB式运用F
(w
)4.结论:若f
(t)«-¥tC.
f
(-¥
)
=
c1
;
f
(¥
)
=
c2jwf
(t)dt
«
F
(
jw
)
+[
f
(-¥
)
+
f
(¥
)]pd(w
)C式运用B频率积分定理若f
(t)«F
(jw
)
则-¥w-
jtF
(w
)dw
f
(t)
«¥-¥
1
2p条件：f
(0)=F
(w
)dw
=0
时有效。-¥w-
jtF
(w
)dw
f
(t)
+
f
(0)d(t)p
«jw解
:
sgn(
t
)
«1
12psgn(-w)2由对称性得jt
«t2例四：.求F[1]的傅立叶变换t若按未修正的频域积分定理做，可得f
(
t
)
=
1,
f
(
0
)
=
1
„
01所以
«
-jpsgn(w)若
f(0)
„
0
则1
«
2pd(w)-¥\
1
«
-
j2pu(w)tw
2pd(w)dw
=
2pu(w)明显，两者有矛盾。若按修正的积分定理，则不会产生矛盾。2pd
(w
)
f
(t
)
=
1.
f
(0)
=
1,
f
(t
)
«=
2
p
u
(
w
)-
¥¥
¥
F
(
w
)
d
w
=
2
pd
(
w
)
d
w-
¥jtF
[pd(t
)－
1
]
=
p
+
p
sgn(
w
)＝2
pu(
w
)pd
(t
)
«
p1
2psgn(-w)1
«jt
2§3.8卷积定理时域卷积定理频域卷积定理一.时域卷积定理若
f1
(t)
«
F1
(w
);
f2
(t)
«
F2
(w
)则
F[
f1
(t)*
f2
(t)]
=
F1
(w
)
•F2
(w
)证明:1391二.频域卷积处理若F[f1
(t)]=F1
(w
);F[f2
(t)]=F2
(w
)则F[f1
(t)•f2
(t)]=2p
F1
(w
)*F2
(w
)其中¥-¥21F1
(u)F2
(u
-w
)duF
(w
)*F
(w
)
=时域中两函数乘积的傅立叶变换，等效于在频域中它们频谱的卷积。证明：¥-¥f
(t)
•
f
(t)e-
jwt
dt1
21
2
F[
f
(t)
•
f
(t)]
=¥-¥F
(w
)e
jwt
dw2p
f
(t)
=
111代入，¥-¥¥-¥¥-¥2p\
F[
f
(t)
f
(t)]
=
1F
(u)du2pF[
f
(t)
f
(t)]
=
1F1
(u)F2
(w
-
u)du1
2f
(t)e-(
jw-
ju
)t
dt211
2互换积分次序得：例五：求单个余弦脉冲的频谱(题3－27)2G
(w
)
=
EtSa
(wt
)pd(w
+p
)
+pd(w
-p
)t
tG(t)cos
p
t
twtp
2
1
-
(
p
)F
(
w
)
=
2
乘FTFT卷2
E
tcos(
wt
)f
(t)
=
G(t).cos
ptt例六：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积G(t)
G(t)G(t)*G(t)卷G(w
)G(w
)乘
4
2F
(w
)
=
Et
Sa
2
wt例七：求图中所示的三角调幅波信号的频谱2100jw
t-
jw
t+
e
)2
tcos
w
0
t
=
(ef
1
(
t
)
=
1
-
wt
4
21tSaE
t2F
(w
)
=}4440202(w
+w
)t(w
-w
)t+
SaEtF
(w
)
=
{
Sa三角波E
=1t2-cosw
0tt2tf
(t)0F0
(w
)1F0
(w
)21F0
(w
)2F
(w
)w
0-w
0t)例八：P169
3-35f
(t)ttf1
(t)tf2
(t)t¥-¥2p
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)
=解：2210000=
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1
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F
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0
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T
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F
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np2pn
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-
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F[
f
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=¥n=-¥题3-24载波只有一个频率,故调制后是将三角脉冲频谱搬移到w
0处.而周期方波有无数奇次谐波分量,故被三角脉冲调幅后,将把三角脉冲的频谱加权移到各奇次谐波处以后迭加.非周期信号的能量谱密度由于信号f(t)为实数，故F(-jω
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