ch5 3多元数量值函数导数与微分1偏

1、偏导数的定义及其计算法1设函数z

=f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)的某一邻域内有定义，当y

固定在y0

而x

在x0

处有改变量Dx时，相应地函数有改变量f

(

x0

+

Dx,

y0

)

-

f

(

x0

,

y0

)称为函数z=f

(x,y)对x的偏改变量（或偏增量）,记作D

x

z.即

D

x

z

=

f

(

x0

+

Dx,

y0

)

-

f

(

x0

,

y0

)同理

D

y

z

=

f

(

x0

,

y0

+

Dy)

-

f

(

x0

,

y0

)Dxfi

0Dxfi

0Dx

Dx定义

如果lim

D

x

z

=lim

f

(x0

+Dx,y0

)-f

(x0

,y0

)存在，则称此极限为函数z=f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处对x的偏导数(或偏微商)，记为f

x

(

x0

,

y0

)，f

x

(

x0

,

y0

)，¶f

(

x0

,

y0

)¶x，或zx

x=

x0

，y=

y0y=

y0

¶xx=

x0¶z.0

0x

0

0Dx

fi

0f

(

x0

+

Dx,

y0

)

-

f

(

x

,

y

)f

(

x

,

y

)

=

limDx注2同理可定义函数z

=f

(x,y)在点(x0

,y0

)处对y的偏导数，y

0

0Dyf

(

x

,

y

+

Dy)

-

f

(

x

,

y

)f

(

x

,

y

)=

lim0

0

0

0Dyfi

0偏导数,若函数z=f

(x,y

)在域D

内每一点(x,y

)处对x或

y

偏导数存在

,

则该偏导数称为偏导函数,

也简称为¶x

¶xx

x记作，

¶z

，¶f

，

z

或

f

(

x,

y)；¶y

¶y3y

y¶z

，¶f

，

z

或

f

(

x,

y).xDxDxfi

0?yf

(

x,

y,

z)

=?zf

(

x,

y,

z)

=偏导数的概念可以推广到二元以上函数例如,三元函数u=f

(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为f

(

x,

y,

z)

=

lim

f

(

x

+

Dx,

y,

z)

-

f

(

x,

y,

z)

,Dzfi

0lim

f

(

x,

y,

z

+

Dz)

-

f

(

x,

y,

z)DzDzfi

04=

lim

f

(

x,

y,

z

+

Dz)

-

f

(

x,

y,

z)Dz例

1

求

z

=

x2

+

3xy

+

y2在点(1,2)处的偏导数．解¶z

=

2x

+

3

y

;¶y¶z

=

3x

+

2

y

.\x

=1y=2¶x¶z=

2

·1

+

3

·

2

=

8

,x

=1y=25¶y¶x¶z=

3

·1

+

2

·

2

=

7

.解法2:¶z¶x

(

1,

2)=

x

2

+

6

x

+

4zx

=1=

1

+

3

y

+

y2z6y=2例

1

求

z

=

x2

+

3xy

+

y2在点(1,2)处的偏导数．例

2

设z

=

x

y

(

x

>

0,

x

„

1)，求证y

¶x

ln

x

¶yx

¶z

+

1¶z

=

2z

.证¶x¶z

=

yx

y-1

,¶y¶z

=

x

y

ln

x,x

¶z

+

1y

¶x

ln

x

¶y

y7x

y

ln

xln

x1¶z

=

x

yx

y-1

+=

x

y

+

x

y=

2z.原结论成立．xx2

+

y2例

3

设z

=

arcsin，求¶z

，¶z

.¶x

¶y解=¶x¶z

¢

xx

+

yx22x2

+

y2x21

-1y2|

y

|(

x2

+

y2

)3x2

+

y2=.|

y

|x2

+

y2=28(

y

=|

y

|)=¶y¶z

¢

yx

+

yx22x2

+

y2x21

-1(

x2

+

y2

)3(-

xy)x2

+

y2=|

y

|xsgn

1x2

+

y2

y=

-(

y

„

0)y=09¶y

x„0¶z不存在．例

4

已知理想气体的状态方程

pV

=

RT¶V¶V

¶T

¶p（

R为常数），求证：¶p¶T

=

-1.证V

2V

¶Vp

=

RT

¶p

=

-

RT

;V

=

RT

¶V

=

R

;RT

=

pV

¶T

=

V

;¶V

¶T

¶pV

2p

¶T

p¶p

¶V

¶T

=

-

RT¶p

R=

-1.R V

=

-

RTp

R

pV10例如,

设z

=

f

(

x,

y)

=

xy

,

求fx

(0,

0),

f

y

(0,

0).有关偏导数的几点说明：１、偏导数¶u是一个整体记号，不能拆分;¶x２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解x11xf

(0,0)

=

limxfi

0y|

x

0

|

-

0

=

0

=

f

(0,0).３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，显然例如,22xy,

x2

+

y2

„

0x

+

yz

=

f

(

x,

y)

=0

,

x2

+

y2

=

0=

012=

0在上节已证f

(x,y)在点(0,0)并不连续!偏导数存在 连续.00d

xx=

x0y=

y0=

f

(

x,

y

)x

=

x¶f

d¶x0

z

=

f

(

x,

y)y

=

y00f

(

x

,

y)d

yx

=

x0y=

y0y

=

y¶f

=

d¶y在点M0

处的切线M

0Tx

对x

轴的斜率.是曲线斜率.是曲线yxz0xyToxTy0M

0在点M0

处的切线

M0Ty

对

y

轴的134、偏导数的几何意义偏导数f

x

(x0

,y0

)就是曲面被平面y

=y0所截得的曲线在点M0

处的切线M0Tx对x轴的斜率.14偏导数f

y

(x0

,y0

)就是曲面被平面x

=x0所截得的曲线在点M0

处的切线M0Ty

对y

轴的斜率.几何意义:设z=f

(x,y)在域D

内存在连续的偏导数x

y¶z

=

f

(

x,

y)

,

¶z

=

f

(

x,

y)¶x

¶y¶

¶z¶

¶z

¶2

z( )

=¶y

¶y

¶y2¶2

z( )

=

=

f

(

x,

y)¶y

¶x

¶x¶y

xy

¶

¶z

¶2

z15( )

=

=

f

(

x,y);¶x

¶y

¶y¶x

yx

¶

¶z

¶2

z( )

=

=

f

xx

(

x,

y);¶x

¶x

¶x2若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2、高阶偏导数纯偏导纯偏导=

f

yy

(

x,

y)混合偏导混合偏导类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f

(x

,y)关于x

的三阶偏导数为(¶¶y¶nz)

=¶xn-1¶yz=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.16例

5

1）设z

=

x

3

y2

-

3

xy

3

-

xy

+

1，¶2

z

¶2

z

¶2

z

¶2

z

¶3

z求

、

、

、

及

.¶x

2

¶y¶x

¶x¶y

¶y2

¶x

3解¶x¶z=

3

x2

y2

-

3

y3

-

y,¶y¶z

=

2

x3

y

-

9

xy2

-

x;¶2

z=

6

xy2

,¶y2¶2

z=

2

x3

-

18

xy;¶x3¶3

z=

6

y2

,¶y¶x¶2

z=

6

x2

y

-

9

y2

-

1.¶x¶y17¶x2¶2

z=

6

x2

y

-

9

y2

-

1,2)

设u

=eax

cos

by

，求二阶偏导数.解¶x¶u

=

aeax

cos

by,¶y¶u

=

-beax

sin

by;2

ax=

a

e

cos

by,¶x2¶2u=

-b2eax

cos

by,¶y2¶2u=

-abeax

sin

by,¶x¶y¶2usin

by.ax=

-abe¶y¶x¶2u注意:此处¶2

z

¶2

z18=¶x¶y

¶y¶x,但这一结论并不总成立.2

2xx4

-

4x2

y

2

-

y

4(x2

+

y

2

)2D

yf

x

(0,

D

y)D

yfi

0f

(x,

y)

=y例如,f

x

(x,

y)

=xyf

(0,0)

=

limyxDxf

y

(Dx,

0)f

(0,0)

=

limD

xfi

0二者不等D

yD

yfi

0-

f

x

(0,

0)

=

lim

-

D

y

=

-1D

xfi

0

D

x-

f

y

(0,

0)

=

lim

Dx

=

1f

(x,

y)

=0,2

2(x2

+

y

2

)2x4

+

4x2

y

2

-

y

4y0

,2

2x2

-

y

2x

y

,

x

+

y

„

0x2

+

y

20,

x2

+

y

2

=

0,

x

+

y

„

0x2

+

y

2

=

0,

x

+

y

„

0x2

+

y

2

=

019问题：混合偏导数具备怎样的条件才相等？20若fxy

(x,y)和fyx

(x,y)都在点

(

x0

,

y0

)连续

,(

x0

,

y0

)f

xy

(

x0

,

y0

)

=

f

yx定理证

令F

(Dx,

Dy)

=

f

(x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(x0

+

Dx,

y0

)f

(x)

=

f

(x,

y0

+

Dy)

-

f

(x,

y0

)y

(

y)

=

f

(x0

+

Dx,

y)

-

f

(x0

,

y)则

F

(Dx,

Dy)

=f

(x0

+

Dx)

-f

(x0

)=[

f

x

(x0

+q1

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

x

(x0

+q1

Dx,

y0

)

]

Dx21令同样F

(Dx,

Dy)

=

f

(x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(x0

+

Dx,

y0

)22f

x

y

(x0

,

y0

)

=

f

y

x

(x0

,

y0

)因f

x（y=y

(

y0

+

Dy)

-y

(

y0

)=

f

y

x

(x0

+q3Dx

,

y0

+q4

Dy)

Dx

D

y(0

<q3

,

q4

<1)\

f

x

y

(x0

+q1Dx

,

y0

+q2Dy)=

f

y

x

(x0

+q3Dx

,

y0

+q4Dy)x

,y）,f

y

（x

x

,y）在点(x0

，y0

)连续,故令Dx

fi

0,Dy

fi

0得例6.

证明函数满足拉普拉斯=

0证：¶2u¶x

21

3,y22利用对称性,有¶

u=

-

r

3

+¶y2¶2u

¶2u

¶2u\

+

+¶x2

¶y2

¶z2¶2u

¶2u

¶2uDu

=

¶x2

+

¶y2

+

¶z2方程1r

43

x

¶r=

-

r

3

+1

3x2¶x

=

-

r

3

+1

3z2r

5r

5¶2u=

-

r

3

+¶z2r

53

3)r

5(

x2

+

y2

+

z2=

-

r

3

+=

r

2=

0232220.xye

-

tx

¶2

f¶2

f

y

¶2

f-

2+y

¶x¶x¶y

x

¶ydt

,求例7.已知f

(x

,y

)=解

¶f

=

e-(

xy

)2

y¶y¶f

=

e-(

xy

)2

x2¶x2-(

xy

)=

e¶

f

\¶x222=

e¶y2¶

f2(-2

xy2

)

y

=

-2

xy3e-(

xy

)2(-2

x2

y)

x

=

e-(

xy

)

(-2

x3

y)-(

xy

)2(-2

x2

)

y¶x¶y¶

f2

2=

e-(

xy

)

+

ye-(

xy

)+24¶x¶y

x

¶y

2¶2

f

y

¶2

f-

2y

¶x

2x

¶2

f\-(

xy

)2=

-2e小结偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续2.

偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法与求导顺序无关先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法 逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)25EX1

验证函数u(x,y)=lnx2

+y2

满足拉普拉斯方程

+ =

0.¶x2

¶y2¶2u

¶2u2解

ln

x2

+

y2

=

1

ln(

x2

+

y2

),,\

¶u

=

x¶x

x2

+

y2,¶y

x2

+

y2¶u

=

yy2

-

x2=

(

x2

+

y2

)2

,=¶2u

(

x2

+

y2

)

-

x

2

x\¶x2x2

-

y2=

(

x2

+

y2

)2

.(

x2

+

y2

)2=¶y2(

x2

+

y2

)2¶2u

(

x2

+

y2

)

-

y

2

y¶2u

¶2u

y2

-

x2

x2

-

y2\

+

=

+¶x2

¶y2

(

x2

+

y2

)2

(

x2

+

y2

)226=

0.思考题若函数f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)连续，能否断定f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)的偏导数必定存在？研究例子27f

(

x,

y)

=

x2

+

y2

,P0

(

x0

,

y0

)

=

(0,0)思考题解答不能.x2

+

y2

,28f

(

x,

y)

=在(0,0)处连续,但

f

x

(0,0)

=

f

y

(0,0)不存在.例如,一、填空题:

.2、

设z

=

e

xy

(x

+

y),则=

;=¶x

¶y¶z

¶z.y3、

设u

=

x

z

,则=¶x¶u;

=¶y¶u;¶z¶u=

.4

x

2

+

y

2三、曲线z

=,在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的

y

=

4倾角是多少?2

csc

2x1、

设z

=

lntan

x,则¶z

=

yy

¶x

¶yy

;

¶z

=e

xy

(

xy

+

y

2

+

1)e

xy

(

xy

+

x

2

+

1)

yx

z

ln

x1zyx

z

ln

xyz

2-y2y-

2x

csc

2x

yzx

yz-1p429一、填空题:1

、设z

=

ln

tan

x

,则¶z

=y

¶x¶y;

¶z

=.2

、设z

=

e

xy

(

x

+

y),

则

¶z

=

;

¶z

=

.¶x

¶yy3

、设u

=

x

z

,

则¶u

=

;¶u

=

;¶x

¶y¶z¶u

=

.=y

¶2

z4

、设z

=

arctan

x

,

则¶x

2=;¶y

2¶2

z;¶x¶y30¶2

z=

.练习题x5、设u

=

(

)z

,则y

¶z¶y¶2

u=

.4二、求下列函数的偏导数:

1、z

=(1

+xy)y

；2、u

=arctan(

x

-y)z

.

x

2

+

y

2三、曲线z

=,在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成

y

=

4的倾角是多少?.¶x¶y¶x

2

¶y

2¶2

z

¶2

z

¶2

z四、设z

=

y

x

,求

,

和¶3

z

¶3

z五、设z

=

x

ln(

xy),求

和

.¶x

2

¶y

¶x¶y

231六、验证:1

1x-(

+

)1、z

=e¶y¶x2

¶z

2

¶zy

,满足x

+

y

=

2z

；2、r

=

x

2

+

y

2

+

z

2

满足¶2

r

¶2

r

¶2

r

z¶x

2

+

¶y

2

+

¶z

2=

r

.七、设232xy

arctan ,

xy

„

0y

x

2

arctan

y

-f

(

x,

y)

=

x0,

xy

=

0求f

x

,f

xy

.y

y

yy

2一、1、2

csc

2

x

,-2

x

csc