甘肃省2022-2023学年高一下学期期末数学试题

高一期末考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（）A． B． C． D．5．若正方形的边长为2，则（）A． B． C． D．6．若是方程的解，则（）A． B． C． D．7．一个底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则（）A． B． C． D．8．柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双．若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20．分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城镇人口比重图如图所示，则（）A．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为40.01%B．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%C．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%D．甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%10．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（）A．事件、A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件C． D．11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，锐角C满足，则（）A．的面积为 B．C． D．12．在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（）A．三棱柱的侧面积为B．三棱柱外接球的表面积为C．平面D．平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知是定义域为的奇函数，当时，，则______．14．已知，则______．15．已知函数在上的最小值为，则的值为______．16．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．证明：以，，，为顶点的四边形是直角梯形．18．已知复数，．（1）若为纯虚数，求；（2）若，求的实部与虚部之和．19．已知，．（1）求；（2）求．20．设的内角，，的对边分别为．（1）求；（2）若为的角平分线，，且，求的周长．21．如图1，正方形和正方形的中心重合，分别为，，，的中点，将图中的四块阴影部分裁剪下来，然后将，，，分别沿着，，，翻折，使得点，，，与点重合，得到如图2所示的四棱锥．（1）求直线与底面所成角的余弦值；（2）若为的中点，求到平面的距离．22．某高校的人学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是．（1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率；（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率．高一期末考试数学参考答案1．A由题意得．2．C由得或，所以“”是“”的必要不充分条件．3．B因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．4．D．5．A由题意得．6．C因为函数单调递增，且，，所以函数的零点所在区间是，即．7．C由题可知，解得．8．B设红、黑、白颜色的左手手套依次为，，，右手手套依次为，，，则这个试验的样本空间为，共包含15个样本点．记事件“取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套”，则，共包含6个样本点，所以．9．BC甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为，A错误．这组数据从小到大排列依次为，，，，，，，则这组数据的中位数为，B正确．因为，所以这组数据的第三四分位数为，C正确．平均数为，D错误．10．BC易知A错误，B正确．又因为，所以，，故选BC．11．BC由题意得的面积为．因为为锐角，所以．由余弦定理，得，所以，．12．BCD三棱柱的侧面积为．因为，，所以为以为直角的等腰三角形，则三棱柱的外接球半径，所以外接球的表面积为．因为，平面，所以平面．由已知得，又是的中点，所以，侧棱平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，，，所以，，，则，所以．又，所以平面．故选BCD．13．．14．由题可知，则．15．，又，所以．由题可知，解得．16．如图，连接，因为底面，所以为与底面所成的角，则，所以．又，在矩形中，，则，所以．因为底面，所以，又，，所以平面，所以，所以顶点的曲率为．17．证明：由题意得，，，则，得且，则四边形为梯形．因为，所以．故以，，，为顶点的四边形是直角梯形．18．解：（1），因为为纯虚数，所以解得．（2）因为，所以，解得，所以，故的实部与虚部之和为．19．解：（1）由，得．（2）因为，所以．20．解：（1）由正弦定理得，即．因为，所以，因为，所以，又，所以．（2）因为，所以，由，得，得．又，解得，，则，所以的周长为．21．解：（1）如图1，取的中点，连接．如图2，连接，，设，的交点为，连接．由题意得，．易得四棱锥为正四棱锥，平面，与底面所成的角为．，．（2）由题意得到平面的距离等于到平面的距离的．设到平面的距离为．由题意得，．，．，．故到平面的距离为．22．解：（1）设事件D为李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试，由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为，所以．（2）方法一：设事件E为李明第一环节通过面试，则．设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：A题错B题错C题错，A题错C题错B题错，B题错A题错C题错，B题错C题错A题错，C题错A题错B题错，C题错B题错A题错．所以．故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为．方法二：设事件E为李明第二环节通过面试，