九年级数学下册常考点微专题提分精练构造直角三角形利用三角函数求边长小题(解析版)

专题24构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】RtEABC中,EA=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A、B的一点，且EACP=30°,则PB的长为.【详解】分两种情况考虑:当△ABC=60°时，如图所示：ΞΞCAB=90°,ΞΞBCA=30°.又EEPCA=30°,EEPCB=EPCA+EACB=60°.又如ABC=60°,EEPCB为等边三角形.又EBC=4,EPB=4.当EABC=30°时，(i)当P在A的右边时，如图所示:EEPCA=30°,EACB=60°,EEPCB=90°.又EB=30°,BC=4,CBCPB=EcosB= ,即PBBC4 4 8cosBcos302 J33.2(ii)当P在A的左边时，如图所示:EEPCA=30°,EACB=60°,EEBCP=30°.XEB=30°,EEBCP=EB.ECP=BP.在RtEABC中，EB=30°,BC=4,EAC=1BC=2.2根据勾股定理得：AB=.、、BC2—AC2=、.42—22=2√3,EAP=AB-PB=2√3—PB.在RtEAPC中，根据勾股定理得：AC2÷AP2=CP2=BP2,即22+(2v3-PB)2=BP2,解得：BP=4、3综上所述,bp的长为4或3石或”【综合演练】1.在EASC中，BC=A+1，EB=45°,EC=30°,则EABC的面积为()√3-1

A.2Bg÷1

B. ÷12C √3+1.2D.%∙3÷1【答案】C【分析】过点A作AD△BC,垂足为D.在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD,根据BC的长先求出AD,再求三角形的面积.【详解】如图，过点A作AD△BC,垂足为D.A在RtBABD中，△B=45°,BD=AD.在RtBACD中，△C=30°,CD=、,3AD.BD÷CD=BC,AD÷、3AD=1÷,J即AD=LS△ABC=2XBCXAD=2（ι÷,、3）.故选：C.【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.2.如图，在aABC中，/A=15。，AB=2,P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP,则上2AP+PB的最小值是（）2A.v2B.%∙3CTD.2【答案】B【分析】以Ap为斜边向abbc:外作等腰直角三角形，得pd=2Aap,当d、p、B在同一2直线上时，2AAP+PB=PD+PB取得最小值.在RbABD中，利用正弦函数即可求得答案.2【详解】如图，以AP为斜边向^。外作等腰直角三角形，CoSNAPD=CoS45°==-ɪɪAP2PD=2-AAP2当D、P、B在同一直线上时，一AP+PB=PD+PB取得最小值.2在RtAABD中，/D=90。,AB=2,NDAB=NDAP+ZBAC=45。+15。=60osinNDAB=Sin60°= ,AB△BD=亘X2=√3.2【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，D构造辅助线得到PD=仝AP是解题的关键.23.如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）100√3m2150.3m2200√3m2 D.300√3m2【答案】B【分析】延长BA,过C作CD^BA的延长线于点D,再根据补角的定义求出MAC的度数，由△△BAC=120°,△△DAC=180°-120°=60°，△AC=20m，△CD=AC・sin60°=20x立=10√3（m），2△S△八d=1AB∙CD=1×30x10∖3=150、、3（m2）.abc2 2故选B.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.—— 而 3 . 4.如图，CoSB=—,SinC=-,AC=10，则aBSC的面积是（ ）\o"CurrentDocument"2 5ʌA.42 B.43 C.44 D.45【答案】A【分析】过点A作AD△BC于点D,根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度.【详解】过点A作AD△BC于点D,AD△sinC=AC△AD=AC∙sinC=6,△由勾股定理可知：BC=8,巨EcosB=——,2EEB=45°,EBD=AD=6,EBC=14,EEABc的面积为2BC∙AD=2×6×14=42.故选A.【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.5.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2,点P是ED的中点，连接AP,则AP的长为（ ）【答案】C在正六边形中，EF=1×(6-2)∙180°=120°.△AF=EF,EeAEF=EEAF=1(180°-120°)=30°.EEAEP=120°-30°=90°.5 .16.已知在ZiABC中，/A、/B是锐角，且SlnB= ,tanA=-,AB=44cm,则4ABC的13 2△点P是ED的中点，EEP=1×2=1.面积等于-cm2.【答案】220【分析】过点C作AB的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中AD,DB和CD的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积.【详解】解：如图：B DA过点C作AB的垂线，垂足为点D'∙'sinB=—13CD,BC设CD=5X,BC=13Xa>0)'tanA=cD1,

2可设CD=y,AD=2y(y>0):.AD=2y=2CD=10X.∙.BD=J(13X)2-(5X)2=12X:AB=AD+BD=10X+12X=22X由22X=44,得X=2则= =故S =1AB-CD=1X44X10=220cm2^ABC2 2故答案是：220【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键.△ABC中，AB=4,AC=5,△ABC的面积为5W，那么M的度数是.【答案】60°或120°##120°或60°【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5,可以求出AC边上的高，再根据她的三角函数值可得她的度数，注意需要分情况讨论.【详解】解：当的是锐角时，如图，过点B作BD△AC于D,△AC=5,△ABC的面积为5、，3回BD=5√3×2÷5=2C在RtAABD中，sinA=BD=运=-3AB4 200A=60°.当EA是钝角时，如图，过点B作BDEAC交CA的延长线于D,DA△AC=5,EABC的面积为5、3EBD=5、:3×2÷5=2×.3在RtEABD中，SinEBAD=sinA=BD=-2-3=—AB4 2EEBAD=60°.EEBAC=180°-60°=120°.故答案为60°或120°.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线.8.如图，在四边形ABCD中，NB=ZD=90。，/BAD=60。，AB=4,AD=5.则AC的长的值为.【答案】2√7【分析】如图，延长BC,AD交于E,解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解.【详解】解：如图，延长BC,AD交于E,EZB=90。,ZBAD=60。,AB=4EZE=30。EAE=2AB=8,BE=AB∙tanZBAE=4Xtan60o=4Y3EAD=5EDE=3回/ADC=ZCDE=90o,CE=-DE-=3L=2√3回cosE33 ,F回BC=BE-CE=2、3回AC=、JAB2+BC2=. +C∙3)=2万故答案为：2*7【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.9.如图，在△ABC中，ΞA=30°,ΞB=45°,AC=2A，贝USAABC=—.CA B【答案】232【分析】如图，过点C作CDEAB于点D.通过解直角△ACD求得CD、AD的长度，通过解直角△BCD求得BD的长度；则易求AB=AD+BD;然后由三角形面积公式进行解答.【详解】如图，过点C作CDEAB于点D.在直角EACD中，EA=30°,AC=2QAD=AC・cos30°=2、J×—=3,CD=jAC=A在直角EBCD中，EB=45°,CD=SEBD=CD=-,3EAB=AD+BD=3+-JESEABC=1AB∙CD=1×（3+、、3）×、S=3+3^-2 2 2故答案是：3±3132【点睛】本题考查了解直角三角形.对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角.进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件.10.如图，在^ABC中，AC=8,^ABC=60。，/C=45。，AD±BC,垂足为D,/ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为.【答案】生23【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt^ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt^EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长.【详解】解：△AD±BCAADC=ZADB=90。.在RtAADC中，AC=8,ZC=45。AD=CDQ一AD=——AC=4√22在RtAADB中，AD=4√2,ZABD=60。3 4\;6BD=—AD=—3 3BE平分ZABCZEBD=30。.在RtAEBD中，BD=且，ZEBD=30。3DE=3BBD=生23 38√2△AE=AD—DE=——3【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.11.如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120o,AC=20米，BC=30米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是平方米.（结果保留根号）120o【答案】15043【分析】过点A作AD±BC,交BC的延长线于点D，根据解直角三角形的方法即可求解.【详解】如解图，过点A作ADɪBC,交BC的延长线于点D/BCA=120。ZACD=60。.在RtAACD中，AC=20,ZACD=60o打―AD=AC∙sin60o=20x——=10√3.2BC=30,AD=10∖'3S =1BC∙AD=1X30X10√3=150√3（平方米）.AABC2 2【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解..如图，在△ABC中，△A=30°,tanB==,AC=2、3，AB的长..【答案】5【分析】作CD^AB于D,据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=%3,AD=3，再在Rt^BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可.【详解】解：作CD^AB于D,如图，在RtAACD中，△A=30°,AC=2√3△CD=2AC=A,AD=Y3CD=3,在RtABCD中，tanB=CDBD△亘=遮BD2△BD=2,△AB=AD+BD=3+2=5.【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形..如图，等腰直角△/%的面积为16,点D在斜边AC的延长线上，△BDC=30°,贝必BDC的面积是__.【答案】8√3+8【分析】作BH△AC于H.想办法求出AD.BH即可解决问题.【详解】解：如图，作BH△AC于H.△等腰直角AABC的面积为16,EBA=BC=4-.2EBA=BC=4√2,EABC=90°,BHEAC,.∙∙AC=J(4√2)2+(4√2)2=8,AH=CH=BH=4,在RtABDH中，EEBHD=90°,EBDC=30°,∙∙.DH=、J3BH=4<3,∙∙.AD=4√3+4,.∙.s=1∙AD∙BH=IQ：3+4).4=8V3+8.AADB2 2【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型..已知：在EABC中，AC=a,AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为2后EPcosC=2在），则AC边上的中线长是【答案】票a或得a【详解】解：分两种情况:①EABC为锐角三角形时，如图1.作EABC的高AD,BE为AC边的中线.E在直角EACD中，AC=a,cosC=2上，55ECD=2、5a,AD=Wa.E在直角EABD中，EABD=45°,EBD=AD=立a,53√5

ΞBC=BD+CD==a.5在EBCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC∙EC∙cosC=9a2+1a2—2X"aX1aX2ʌɪ=5 4 5 2 51720一a2EBE=185a②EABC为钝角三角形时，如图2.作EABC的高AD,BE为AC边的中线.E在直角EACD中，AC=a,cosC=ZeECD=入5a,AD=区a.5 5E在直角EABD中，EABD=45°,EBD=AD=-5-a,335EBC=BD+CD=355a.在EBCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC∙EC∙cosC1 1 Cy-I 2、5 1=a2+a2-2x aXaX=a25 4 5 2 5 20EBE=-ɪɪa综上可知AC边上的中线长是上邑a或Wa10 1015.在aABC中，AC=4√2,BC=6,NC为锐角且tanC=1.（1）求^ABC的面积；⑵求AB的值；⑶求CosZABC的值.【答案】（1）12（2）2v5⑶15【分析】（1）过点A作AD±BC，根据ZC的正切值确定ZC的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出^ABC的面积；（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出ZB的余弦值.解：过点A作AD±BC，垂足为DAZADC=ZADB=90。ZC为锐角且tanC=1ZC=45。ZDAC=90o-ZC=45oZDAC=ZC=45oAD=DC在RtAACDAd△SinC=-—，AC=4、2AC△DC=AD=AC∙SinC=4\2=4X——2△BC=61 1/△S=BCAD=—X6X4=12△ABC 22△△ABC的面积为12△DC=AD=4，BC=6△BD=BC—DC=6—4=2在Rt△ABD中，AB=、、aD22+BD2=442+22=2%5△AB的值为2芯在Rt△ABD中，AB=2.5，BD=2△CosNABC=BD2 √5AB―2芯—5△cosNABC的值为—.5【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键.2一416.如图，在△ABC中，SinB=—,cosC=一，AC=5,则△ABC的面积为多少？

2 5【答案】10.5【分析】作AD胡^根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据胡可以求得AD=BD，根据AD,BC即可求得S^ABC的值•【详解】解：过点A作AD△BC,垂足为D.一4在RtΔACD中，CoSC=5,AC=5,4△CD=ACXcosC=5X=4.5△由勾股定理得：AD=xAlC2-CD2=3.√2EsinB=-,2EEB=45°.EEBAD=EB=45°.EBD=AD=3.ESaabc=：BC∙AD=：(3+4)×3=10.5.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形.17.已知在酎5C中，Ξ^CB=135°,AC=8,D、E分别是边BC、AB上的一点，若tanEDEA=2,DE=V5,SδDEB=4,求四边形ACDE的面积.【分析】作DHEAB于H,CNEAB于N,BMEAC交AC的延长线于M.由题意易知tanEDBH=DH=CN=2,可以假设CN=2k,BN=5k,则BC=v29k,再根据tanEA=BM=CNHBBN5 AMAN构建方程即可解决问题.【详解】解：如图，作DHEAB于H,CNEAB于N,BMEAC交AC的延长线于M.EDH=2,EH=1,ESδdeb=1∙EB∙DH,△DEB2△4=1×EB×2,2EEB=4,BH=5,DHCN2EtanEDBH= = =,HBBN5△可以假设CN=2k,BN=5k，贝UBC=29k,EEACB=135°,EEMCB=45°,ECM=BM=立×,29=也8k,22EtanEA=四=CNAMAN且k2kE-2^~=o^^8+任kN-(2k),22解得：k=》或-14咨（舍弃）,2929EAB=AN+BN=28v2+迎理29△S四边形ACDE=SAABCSadeb1=-X2rL28√2+I30√58)12屈29)X 29336√29604 +——29 29.4【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.18.如图，在RtA∕BC中，EC=90°,D是BC边上一点，EBAD=45°,AC=3,AB=3√5,求BD的长.【答案】BD的长是5.【分析】过D作DE^AB于点E,设DE=a,用a表示出AE、BE,在RtEABC和RtEBDE中分别表示出tanEABC,从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.【详解】解：过D作DEEAB于点E,如图所示，△△BAD=45°,△△EAD=^EDA=45°,△AE=DE,设DE=a,贝UBE=AB-AE=3v5-a,△AC=3,AB=3√5,△C=90°,△BC=v'(3、/5)2—32=6△tanNABC=DEBEACa3

= = =—BC3√5—a6,△a=√5经检验，a=v5是上面方程的解.△DE=v5，BE=2∖/5Rt^BED中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2=(v5)2+(245)2=25△BD=5.【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.19.如图，aABC的角平分线BD=1,NABC=120。，/A、NC所对的边记为a、c.BAD C(1)当C=2时，求a的值；(2)求ABBC的面积(用含a,C的式子表示即可)；(3)求证：a,C之和等于a,C之积.【答案】(1)2；(2)S=皂ac；(3)详见解析.△ABC 4【分析】(1)过点A作AE