反比例K的几何意义

反比例函数比例系数k的几何意义知识梳理：k如图所示，过双曲线y=—(k€0)上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂x线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM•PN=lyl•Ixl.k*€y= ，•:xy—k,S—IkI。x1,,反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=2Ik|反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=|k|这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数Ikl。这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。典例精析专题一K值与面积直接应用k例1已知如图，A是反比例函数y-一的图象上的一点，AB丄x轴于点B,且AABO的x面积是3，则k的值是( )A、3 B、-3 C、6 D、-66变式练习1：如图，点P是反比例函数y-—图象上的一点，则矩形PEOF的面积是.xk变式练习2：如图：点A在双曲线y€—上，AB丄x轴于B,且△AOB的面积S^AOB=2,x则k=.变式练习3：如图,A是反比例函数图象上一点，过点A作AB丄y轴于点B,点P在x轴上:△ABP的面积为2,则这个反比例函数的解析式为 .变式练习4：如图反比例函数y=_4的图象与直线y€_1x的交点为A，B，过点A作y轴的"x 3平行线与过点B作x轴的平行线相交于点。则厶ABC的面积为（ ）C.4DC.4-12B为双曲线y€ 上的点，AD丄x轴于D,BC丄y轴于点C,贝9四x

k直线1与双曲线y=—(k€0)交A、B两点，P是AB上的点，试比较x/POE的面积S3的大小：。2点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=—(x>0)图象A.逐渐增大B.逐渐减小C.不变A.逐渐增大B.逐渐减小C.不变D.先增大后减小k变式练习2：如图，在反比例函数y二图象上任取取两点P、Q，x过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为Sj过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s2；S1与s2的关系为。且它们的面积都等于。4变式练习3：如图2，P、C是函数y二一(x>0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线xPA,垂足为A，过点C作x轴的垂线CD,垂足为D,连接OC交PA于点E,设/POA的面积为S],则S1=,梯形CEAD的面积为S2，则S]与S2的大小关系是S1S2,/POE的面积S3和梯形CEAD的面积为S2的大小关系是S2S3.变式练习4：如图12,A、B是函数y_2的图象上关于原点对称的任意两点,BC〃x轴,AC〃yy_C. C. 2<S<4D.k变式练习5：如图3所示，点A(x1,y1)>B(x2,y2)都在双曲线y=—(X>0)上，且x2-x1=4,y1-y2=2;x分别过点A、B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为。专题二设坐标、面积法一题多解k/ 小、例题3：如图，已知点A、B在双曲线y€(x,0)上,AC丄X轴于点C,BD丄y轴与点D,xAC与BD交于点P,P是AC的中点，若/ABP的面积为3,则k=。k变式练习1：如图已知双曲线y= (k<0)经过直角三角形0AB斜边x变式练习2：在直角坐标系中，有如图所示的RtAABO,AB丄x轴于点B,斜边AO€10,3 k变式练习2：在直角坐标系中，有如图所示的RtAABO,AB丄x轴于点B,斜边AO€10,3 k…AOB€ ，反比例函数y€ (x,0)的图像经过AO的中点C,且与AB5 x交于点D,则点D的坐标为.变式练习3：已知双曲线y€~(k>0)经过直角三角形OAB斜边0B的中点D,与直角边ABx相交于点匚若厶OBC的面积为3,贝yk= .培优拓展：如图，□ABCD的顶点A,B的坐标分别是A(—lk—2),顶点C,D在双曲线丫=-上,边AD交y轴于点E,x的面积是厶ABE面积的5倍，则k=例4：如图，已知双曲线y=k(x>0)经过矩形0ABC边AB的面积是厶ABE面积的5倍，则k=x若四边形OEBF的面积为4,则k=；(2)若梯形0EBA的面积为9,则k=。变式练习1：如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E,双曲线y=-(k〉0)经过A、Ex两点，若平行四边形AOBC的面积为18,则k=

变式练习2：如图，已知双曲线y=-€x>0),y=4(x,0),点P为双曲线y2二上的一1X 2x 2X1点，且PA丄x轴于点A,PB丄y轴于点B,PA、PB分别次双曲线”=于D、C两点，则1x变式练习3：双曲线y、y在第一象限的图像如图，y二4，过y上的任意一点A,作x1 2 1x1交y轴于C,若Saaor=1,则人的解析式是△AOB 2培优拓展：1、如图，直线y=—x+1交x轴于A,交y轴于B、P为反比例函数y=«(x>0)图象上x一点，PM丄x轴于M交AB于E,PN丄y轴于N交AB于F,若ZE0F=45°，则k的值为2变式练习2：如图，正方形ABPP的顶点P、P在反比例函数y=x(x>0)的图像上，顶1112 1 2 x点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形PPAB,顶点P在反比例函1 1 23 22 3

数y=X（x〉0）的图象上，顶点A在x轴的正半轴上，则点P的坐标为X 2 3专题三反比例函数与观察规律例5：如图5所示，P（x，y）、P（x，y）， P（x，y）111 2 2 2 nnn在函数y=9（x〉0）的图象上，△OPA,△PAA,△PAA••…x 1 1 212 323△PAA……都是等腰直角三角形，斜边OA,AA……AA,nn—1n 1 12 n-1n都在X轴上，则y+y+・・・y=。1 2 n变式练习1：在反比例函数y€2（x>0）的图象上，有点xP P3,P4，它们的横坐标依次为1，2,3,4•分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为讣町，耳，则S,S,S€.1 2 3变式练习2:如图，在x轴的正半轴上依次截取过点A1、A2、A3、A4、A5过点A1、A2、A3、A4、A5分别作O1 1 2 2 3 3 4 4 5x轴的垂线与反比例函数y€扌G…0„的图象相交于点P、◎、仆P4、P5，得直角三角形OPA、APA、APA、APA、APA，并设其面3积分别为*Sy则S5积分别为*Sy则S5的值为..变式练习3：△P1OA1，△PAA,212△PAA323TOC\o"1-5"\h\z△paA都是等腰直角三角形，点PPP3……P都在函数y二一（X>0）的图象上，斜nn—1n 123 n 兀边0出、aia2>a2a3 A〔A都在x轴上。则点A的坐标是。1 12 23 n—1n n变式练习4：如图，P］是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A】的坐标为（2,0),若APOA11是'△PAA212、…、△0),若APOA11是'△PAA212nn-1n n中考连接（09湖北孝感）如图，点P是双曲线y€ （k<0,x<0）上一动点，过点P作X轴、x1y轴的垂线，分别交X轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=k2（0Vkv|k|）于E、Fx 2 1两点.（1） 图1中，四边形PEOF的面积S「（用含k「k2的式子表示）；（2） 图2中，设P点坐标为（一4,3）.①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论;②记S=S-S，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由.2 ,PEF ,OEF 2课后练习：1、如图，课后练习：1、如图，AjJ八Aki(J 7点，AB垂直x轴于B点，若=3,则k的值为（ ）△AOB3A、6 B、3C、2D、不能确定k2、反比例函数y€ （k2、反比例函数y€ （k>0）在第一象限内图象如图，点M是图象上一点，MP垂直于x轴于x点P,如果AMOP的面积为1,那么k的值是（ ）A、1B、2C、3D、不能确定13、如图，点P是反比例函数y€的图象上任一点，pa垂直x在x轴，垂足为A，设AOAP的面积为S，则S的值为12A、1 B、2C、3D、14、如图：A，B是函数y€—的图象上关于原点O对称的任意两点。AC平行于y轴，BC平x行于x轴，求AABC的面积。k5、如图：P是反比例函数y二一图象上的一点，由P分别向x轴和y轴引垂线，阴影部分x面积为3，求函数的表达式。3（2011XX漳州）如图，P（x,y）是反比例函数y€的图像在第一象限分支上的一个动x点，PB丄y轴于点B,随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）A.不变B.增大A.不变B.增大C.减小D.无法确定（09XX牡丹江）如图，点A、B是双曲线y€丄上的点，分别经过A、B两点向x轴、xyy轴作垂线段’若S阴影8、如图，面积为3的矩形8、如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y€-的图象上，另三点在坐标轴上，则k=.x9•如图所示,A（.yi）、B（x2，y2）、C（X3,分支上的三个点，且X1vx2Vx3,过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形AD°H、BE°N、CFOP，它们的面积分别为S、S、S，则下列结论中正确的是CFOP，它们的面积分别为S、S、S，则下列结论中正确的是A.S<S<S1 2 32 3B.S<S<S3 2 1C.S<S<S2 3D.S=S=S1 2 3110.如图A、C是函数y€—的图象上的任意两点，过A作X轴的垂线，垂足为B,过C作xy轴的垂线,A.S>Sy轴的垂线,A.S>S12垂足为D，记RtAAOB的面积为S],B.S<S12C.S=S12C.S=S12D.Si与S2的大小关系不能确定k11..点A是双曲线y€与直线y€，x，(k+1)在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B,x3且5人=怎；(1)求两个函数的表达式△ABO2(2)求直线与双曲线的交点坐标和厶AOC的面积。12.如图，已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上,点B在函数y=-Q…0,x…0)的图象上，点P(m,n)为其双曲线上的任一点，过点P分别x作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.求B点坐标和-的值；9当S€-时，求P点坐标；写出S关于m的函数关系式.15、(09XX长春)如图，在直角坐标系中，△OBAs^DOC,边OA、OC都在x轴的正半轴上,点B的坐标为(6,8),ZBAO€ZOCD€90°,OD€5.反比例函数y=-(x…0)的图象经过x点D,交AB边于点E.(1)、求k的值；(2)、求BE的长.B组培优拓展1•如图，AAOB为正三角形，点B的坐标为(一2,0),过点C(2,0)作直线交A0于点D,交AB点E，点E在kTOC\o"1-5"\h\z双曲线y€—(x>0),若S€S，则k的值是x AADE AOCD\o"CurrentDocument"4 —c X 4 92.如图，直线y€%与双曲线y€(x,0)交于点A.将直线y=%向右平移个\o"CurrentDocument"3 x 3 2单位后，与双曲线y€(%>0)交于点B，与%轴交于点C，若 €2，则—€.\o"CurrentDocument"x BC3•如图，点3•如图，点A在双曲线y€-上,x且0A=4,过A作AC丄x轴，垂足为C,0A的垂直平分线交oc线交oc于b,贝y△ABC的周长为 ,4•如图，已知直线y=x—2