高数上册知识点培训资料

高数上册知识点精品文档高等数学上册知识点一、 函数与极限（一）函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数f(x)在x0连续limf(x)f(x0)xx0间断点第一类：左右极限均存在.(可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在.(无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论 .（二）极限1、定义1）数列极限:limxna0,N,nN,xnan2）函数极限:limf(x)A0,0,x,当0xx0时，f(x)Axx0左极限：f(x0)limf(x)右极限：f(x0)limf(x)xx0xx0limf(x)A存在f(x0)f(x0)xx02、极限存在准则1）夹逼准则：1）ynxnzn(nn0)2）limynlimznalimxnannn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限 .3、无穷小（大）量收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1）定义：若lim 0则称为无穷小量；若lim 则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k阶无穷小Th1 ~ o( );Th2 ~ , ~ ,lim 存在，则lim lim （无穷小代换）4、求极限的方法1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则； 3) 极限运算准则及函数连续性；limsinx11)x4)两个重要极限：a)1b)lim(1x)xlim(1ex0xx0xx5）无穷小代换：（x0）a)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxb)1cosx~1x22c)ex1~x,（ax1~xlna）d)ln(1x)~x（loga(1x)~x）e)(1x)1~xlna二、导数与微分（一）导数1、定义：f(x0)limf(x)f(x0)xx0xx0左导数：f(x0)limf(x)f(x0),右导数：f(x0)limf(x)f(x0)xx0xx0xx0xx0函数f(x)在x0点可导f(x0)f(x0)2、几何意义：f(x0)为曲线yf(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2)基本公式；3)四则运算；4)复合函数求导（链式法则）；隐函数求导数；6)参数方程求导；7)对数求导法.5、高阶导数21）定义：dyddydx2dxdx

n2)Leibniz公式：(n)Cnku(k)v(nk)uvk0收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（二）微分1）定义： y f(x0 x) f(x0) A x o( x)，其中A与 x无关.2）可微与可导的关系：可微 可导，且dy f(x0)x f(x0)dx三、 微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、Rolle定理：若函数f(x)满足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；3）f(a)f(b)；则(a,b),使f()0.2、Lagrange中值定理：若函数f(x)满足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；则(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：1）f(x),F(x)C[a,b]；2）f(x),F(x)D(a,b)；3）F(x)0,x(a,b)则(a,b),使f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()（二）洛必达法则（三）Taylor公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，则若f(x)0，则f(x)单调增加；则若f(x)0，则f(x)单调减少.2、极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在x0可导，若x0为f(x)的极值点，则f(x0)0.b)第一充分条件：f(x)在x0的邻域内可导，且f(x0)0，则①若当xx0时，f(x)0，当xx0时，f(x)0，则x0为极大值点；②若当xx0时，f(x)0，当收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x x0时，f(x) 0，则x0为极小值点；③若在 x0的两侧f(x)不变号，则 x0不是极值点.c) 第二充分条件： f(x)在x0处二阶可导，且 f(x0) 0，f(x0) 0，则①若f(x0) 0，则x0为极大值点；②若 f(x0) 0，则x0为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点）f(x)在区间I上连续，若x1,x2I,f(x1x2)f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上的图122形是凹的；若x1,x2I,f(x1x2)f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上的图形是凸的.222）判定定理：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；b)若x(a,b),f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.）拐点：设yf(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线yf(x)经过点3(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点 (x0,f(x0))为曲线的拐点.（五）不等式证明1、 利用微分中值定理； 2 、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：limf(x)，则xa为一条铅直渐近线；xa2、水平渐近线：limf(x)b，则yb为一条水平渐近线；x3、 斜渐近线：（八）图形描绘

limf(x)k,lim[f(x)kx]b存在，则ykxb为一条斜渐近线.xxx收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档四、 不定积分（一）概念和性质1、 原函数：在区间 I上，若函数F(x)可导，且F(x) f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数.2、 不定积分：在区间 I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为 f(x)在区间I上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；4、 性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f[(x)](x)dxf(u)du2、第二类换元法（变量代换）：f(x)dxf[(t)](t)dt

u (x)t 1(x)（三）分部积分法：udvuvvdu（四）有理函数积分：1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分（一）概念与性质：1、定义：bnf(x)dxlimf(i)xia0i12、性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]，使bb)(ba)（平均值：f()f(x)dxf(x)dxf(a）aba（二）微积分基本公式（ N—L公式）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1、(x)x(x)f(x)变上限积分：设f(t)dt，则a推广：d(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)(x)dx—公式：若的一个原函数，则b2、F(x)为f(x)NLa（三）换元法和分部积分1、bf(x)dxf[(t)](t)dt2bb换元法：、分部积分法：udvuvabvduaaa（四）反常积分1、无穷积分：f(x)dxlimtbbf(x)dx,f(x)dx0f(x)dxaf(x)dx,f(x)dxlimtf(x)dxtat02、 瑕积分：bbf(x)dxlimatat

bf(x)dxlimtf(x)dx（a为瑕点）,f(x)dx（b为瑕点）atba两个重要的反常积分：,p1(ba)1q11)dx2)bdxbdx1,qa1pqaxp,p1a(xa)qa(bx)q,q1p1六、 定积分的应用（一）平面图形的面积1、b直角坐标：A[f2(x)f1(x)]dxa2、极坐标：A1[22()12()]d2（二）体积收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1、旋转体体积：a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：Vxb2(x)dxfab)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：Vyb2xf(x)dxa（柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：bVA(x)dxa（三）弧长1、直角坐标：sbf(x)2dx2、参数方程：s221(t)(t)dta3、极坐标：s2()2()d七、 微分方程（一） 概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程 .阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .2、解：使微分方程成为恒等式的函数 .通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同 .特解：确定了通解中的任意常数后得到的解 .（二） 变量可分离的方程g(y)dy f(x)dx，两边积分 g(y)dy f(x)dx（三） 齐次型方程dy(y)，设uy，则dyuxdu；或dx(x)，设vx，则dxvydvdxxxdxdxdyyydydy（四）一阶线性微分方程dy，用常数变易法或用公式：P(x)dxQ(x)eP(x)dxCP(x)yQ(x)yedxdx收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（五） 可降阶的高阶微分方程1、y(n)f(x)，两边积分n次；、yf(x,y)（不显含有y），令yp，则yp；23、yf(y,y)（不显含有x），令yp，则ypdpdy（六） 线性微分方程解的结构1、y1,y2是齐次线性方程的解，则 C1y1 C2y2也是；2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解；3、yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0特征方程：r2prq0，特征根：r1,r2特征根通解实根r1r2rxrxyC1e1C2e2r1r2py(C1rx2C2x)e