人教高二数学选修B-函数的平均变化率课件

函数的平均变化率中国人民大学附属中学（一）创设问题情境在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学来刻画山坡的平缓与陡峭程度呢？（二）聚焦问题难点如果山坡是平直的，我们可以用“坡度”来刻画山坡的陡峭程度．坡面AB的坡度＝——————＝——.如果山坡是弯曲的，该如何刻画它的陡峭程度呢？ABθC竖直高度水平宽度BCAC（三）以直代曲思想的理解从这个局部图形，你能判断它是平直的还是弯曲的吗？（三）以直代曲思想的理解从这个局部图形，你能判断它是平直的还是弯曲的吗？（三）以直代曲思想的理解从这个局部图形，你能判断它是平直的还是弯曲的吗？（三）以直代曲思想的理解从这个局部图形，你能判断它是平直的还是弯曲的吗？（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度我们研究一座山的剖面示意图：（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度我们研究一座山的剖面示意图：Oyx（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度我们把山路分成许多近似平直的小段：D1x3（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度对于AB这一段平直的山路：（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度对于CD1这段弯曲的山路：D1x3（五）函数平均变化率的概念已知函数在点及其附近有定义，令

则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率．（六）函数平均变化率的辨析（1）如何用函数的平均变化率直观理解某段山路的陡峭程度？

∆x一定时，∆y的绝对值越大，则这段山路越陡峭．反之亦然．（2）∆x为什么不等于0？可以小于0吗？∆y呢？从代数式看，分母不能为0；从实际意义看，∆x＝0表示水平方向没有发生位移，因而竖直方向也没有发生位移．∆y可以为0，其含义是这段山路的起点和终点一样高，反之亦然．∆x和∆y均可正可负．（六）函数平均变化率的辨析（3）平均变化率可以为0吗？其正负表示什么含义？

平均变化率可以为0，表示始点和终点在同一水平高度；平均变化率为正表示上升，为负则表示下降．（4）如何理解∆x和∆y

的对应关系？（六）函数平均变化率的辨析（5）函数在到之间的平均变化率如何表示？（6）函数的平均变化率与直线的斜率有什么关系？函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这

也是函数平均变化率的几何意义.【例】求函数在到之间的平均变化率．【解】当自变量从变到时，函数的平均变化率为【思考与总结】（1）函数在到之间的平均变化率是什么？（七）巩固例题选讲同样，当自变量从变到时，函数的平均变化率为一般地，函数的平均变化率为由此可见，一次函数在任意区间上的平均变化率都等于直线的斜率.（2）求函数的平均变化率的主要步骤：①求自变量的增量②求函数值的增量③求函数的平均变化率（3）求函数在附近的平均变化率，常用的形式为【例】求函数在到之间的平均变化率．【解】当自变量从变到时，函数的平均变化率为【探索与研究】（1）当

，时，求函数的平均变化率；我们发现，当一定时，越大，函数的平均变化率越大．（2）当，时，求函数的平均变化率．我们发现，当一定时，越大，函数的平均变化率也越大．【例】求函数

在到之间的平均变化率【解】当自变量从变到时，函数的平均变化率为【探索与思考】（1）你能说出该函数的平均变化率与它的图象之间的关系吗？在左半支，固定，平均变化率随着的增大而减小；固定，平均变化率随

着的增大而减小．在右半支，固定，平均变化率随着的增大而增大；固定，平均变化率随

着的增大而增大．（2）当取定值时，

取不同值，平均变化率怎么变化？这相当于研究函数的变化规律，其中常数≠0.定义域为当时，函数图象如图：（3）当取定值时，

取不同值，平均变化率怎么变化？这相当于研究函数的变化规律，其中为常数.以为例，函数的定义域为：函数图象如图：【练习】求函数

在到之间的平均变化率．结合函数的图象，思考下列问题：①固定，平均变化率随

的增大怎么变化？②固定

，平均变化率随的增大怎么变化？【例】比较下列函数在

1到1＋△x(△x

＞0)之间的平均变化率的大小：①；②；③．【解】函数在

1到1＋△x

之间的平均变化率为1；函数在

1到1＋△x

之间的平均变化率为2＋△x

；函数在

1到1＋△x

之间的平均变化率为

．所以，它们在

1到1＋△x

之间的平均变化率的大小关系为：②＞①＞③．【例】比较下列函数在

1到1＋△x(△x

＞0)之间的平均变化率的大小：①；②；③．【思考】（1）如果

，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象

来解释吗？（2）与函数

的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？【例】两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？【解】甲、乙两厂在相同的时间内都将

污水排放流量治理到标准要求．甲厂原

来的排放流量较大，因而平均变化率较

大，所以甲厂的治污效果较好．（八）课堂小结与回顾割线斜率山坡陡峭程度平直函数的平均变化率弯曲几何意义坡度以直代曲（九）课后作业（1）求

在2到

之间的平均变化率．（2）试比较正弦函数

在0到

之间和

到

之间的平均

变化率，哪一个较大？►Sufferingisthemostpowerfulteacheroflife.苦难是人生最伟大的老师。►Formanismanandmasterofhisfate.人就是人，是自己命运的主人。►Amancan'trideyourbackunlessitisbent.你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。►1Ourdestinyoffersnotthecupofdespair,butthechaliceofopportunity.►Soletusseizeit,notinfear,butingladness.·命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运素材积累►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树，转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是靠追的，不是等来的！素材积累►Sufferingisthemostpowerfulteacheroflife.苦难是人生最伟大的老师。►Formanismanandmasterofhisfate.人就是人，是自己命运的主人。►Amancan'trideyourbackunlessitisbent.你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。►1Ourdestinyoffersnotthecupofdespair,butthechaliceofopportunity.►Soletusseizeit,notinfear,butingladness.·命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运素材积累►IfIhadnotbeenbornNapoleon,IwouldhavelikedtohavebeenbornAlexander.如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。►Neverunderestimateyourpowertochangeyourself!永远不要低估你改变自我的能力！►