数列的概念及表示方法

数列的概念及表示方法

1.数列的概念及表示方法数列是一列按照一定顺序排列的数，其中每个数称为该数列的项。每一项都与其序号有关，排在第一位的数是该数列的首项，也称为第一项。排在第n位的数称作该数列的第n项，记作an。数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，简记为{an}。需要注意的是：①数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置。②项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置。③{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项。④数列的简记符号{an}，不可能理解为集合{an}，数列的概念与集合概念的区别如下表：数列：数列中的项是有序的，两组相同的数字，按照不同的顺序排列得到不同的数列。数列中的项可以重复出现。集合：集合中的元素是无序的。如{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合。集合中的元素满足互异性，元素不能重复出现。2.数列的分类数列可以根据项数和各项的大小关系进行分类：1)以项数来分类：（1）有穷数列：项数有限的数列。（2）无穷数列：项数无限的数列。2)以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0)，即从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。（2）递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0)，即从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。（3）常数列：各项相等的数列。（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。例1、判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”。(1)数列是按一定顺序排列的有规律的一列数。(√)(2)数列中的项不可能相等。(×)(3)数列是可以用图象表示的。(√)(4)数列可以用一群孤立的点表示。(√)(5)数列可以看成一种特殊的函数。(√)(6)如果一数列满足an+1=an，那么它是递增数列。(×)1.如果n+1>1，则数列是递增数列。2.正确的说法是A。数列可以表示为一个有序的数集。3.选项D是无穷递增数列。4.常数列是选项3和5，摆动数列是选项1和6。5.无穷递增数列是选项1、2、4；有穷数列是选项3。6.数列的表示方法包括列表法、图像法和解析式法，其中解析式法可以用通项公式和递推公式表示。7.如果数列的第n项和项数n之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。注意，不是所有数列都有通项公式，而且有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的。8.选项B是正确的。2n-1.(6)数列1,1,2,2,3,3,4,4,…的通项公式是an=n2,n为奇数;an=n-12,n为偶数.(7)数列9,99,999,9999,…的通项公式是an=10n-1.(8)数列1,2,3,4,…的前缀和数列的通项公式是an=n(n+1)2.3.关于数列的最大值或最小值,需要先证明其存在性,即数列是否有上确界或下确界.若存在,则最大值或最小值即为上确界或下确界.若不存在,则数列无最大值或最小值.5、数列的递推公式数列的递推公式是指用一个公式来表示数列中任意一项与它的前一项之间的关系。通常情况下，已知数列的第一项或前几项，可以通过递推公式来求得数列中任意一项的值。【例题】例1、判断对错1.正确。通项公式可以用来求数列的任意一项。2.错误。除非数列是无限递增的，否则数列必定存在最大项。3.正确。递推公式是一种表示数列的方法。4.错误。并非所有数列都有递推公式。例2、已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝20。例3、已知数列{an}的前4项依次是：13，31，49，67，猜想an＋1与an的关系为an＋1=an＋18。例4、若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an，求a2018=2019。例5、根据递推公式求通项公式(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立。根据这一结论，已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an=2n－1。(2)若数列{a