《垂线》人教版初中数学1课件

设计者谢汝荡5.1.2垂线一、学习目标1、了解垂线段的概念,2、了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,3、学会度量点到直线的距离。重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用。二、重点和难点难点：点到直线的距离的概念的理解。两条直线相交一般情况对顶角：相等邻补角：互补特殊情况复习：BACDO1234在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当α=90°时,a与b垂直.当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.当α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.两条直线相交斜交垂直垂直是相交的特殊情况）αabbbbb）α观察与思考1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。baO从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：

只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。一、垂直的定义日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?围棋盘的横线和竖线铅垂线和水平线baOABCDOABOAMBN图1图4图3图22靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;=145°已知：如图AD＜AE＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？结论:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计者谢汝荡=145°两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（）=145°4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？简单说成:垂线段最短.重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用。如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。a叫b的垂线，b也叫a的垂线。AC DFG3、学会度量点到直线的距离。如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，

1)过M点画CD的垂线交CD于F点,

2)M点和N点的距离是线段____的长，

3)M点到CD的距离是线段____的长。如图，已知直线和外的一点A,作的垂线.ba1）图形：Oα2）文字：a、b互相垂直,垂足为O3）符号：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O

2.垂直的表示：ABCDO书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。①判定：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）书写形式：反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。②性质：∵AB⊥CD（已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)3.垂直的书写形式：练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（）（A）有一个角为90°（B）有两个角相等（C）有三个角相等（D）有四个角相等（E）有四对邻补角（F）有一对对顶角互补（G）有一对邻补角相等（H）有两组角相等AC DFGOABCD）（1342）（练一练如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.CDABOE12切记：要证垂直必先想到直角（90°）联想数学练习2：OE⊥ABACEBDO1∴∠EOB=90°(垂直的定义)

∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+55°=145°(解:∵AB⊥OE（已知）∵∠BOD=∠1=55°二、例题例1如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.（对顶角相等）1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？

想一想做一做2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？想一想做一做过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？问题：怎么样画垂线？垂线的画法问题：这样画

的垂线，可以画几条？1放、2靠、3画线、O如图，已知直线,作

的垂线。工具：直尺、三角板A无数条1.垂线的画法：A如图，已知直线

和

的一点A,作

的垂线.B4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;则所画直线AB是过点A的直线的垂线.1.垂线的画法：如图，已知直线

和外的一点A,作

的垂线.AB4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.请同学们画一下1.垂线的画法：

结论:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.能作一条,而且只能作一条.问题:过已知直线

和

上(或外)的一点A,作

的垂线,可以作几条?

注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.垂线的性质（1）“有且只有”的含义：“有”代表“存在”；“只有”代表“唯一”①过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC练一练练习3.EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.②、练一练练习5、点O是直线AB上的一点，OC是射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，试确定OE与OF的位置关系．并说明理由．ABOCEF12练一练1、垂线的定义2、垂线的画法3、垂线的性质（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直一、放；二、靠；三、移；四、画

小结：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。P请你画图，并用尺量一下，看看哪一条线段最短？此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有最短的线段?”

由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。PlA要找垂线段，先把点来看。过点画垂线，点足垂线段。

例如：如图，PA⊥于点A，线段PA叫做点P到直线

的垂线段.垂线段的概念：BDAOC1C2C3C4

简单说成:

垂线段最短.结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。ABPD特别强调:注意：“垂线”、“垂线段”的区别：垂线是直线，垂线段是线段。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PlA

例如：如图，PA⊥于点A，垂线段PA的长度叫做点P到直线

的距离.

例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示?lPA

解:过P点作PA⊥于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.点到直线的距离：2.如图,∠ACB=900,CD⊥AB,线段AC、BC、CD中最短的是()(A)、AC(B)、BC、(C)、CD(D)、不能确定1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画()A.1条B.2条C.3条D.无数条DABCDC例1、选择题：12ABCDO∵BO⊥AC于O点）)（已知）∵∠ABC=90°()∠1=60°（）已知∴∠ABO=30°解：（已知）∴∠BOC=90°∴∠BOD=30°（余角定义）（余角定义）已知（垂直定义）又∵∠2=∠1=60°例2、如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD.DBCAE已知：如图AD＜AE＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？答：不能。想一想：CADEB解：∵AC⊥BC于C(已知）∴AC＜AB（垂线段最短）又∵CD⊥AD于D(已知）∵DE⊥BC于E(已知）∴CD＜AC（垂线段最短）∴DE＜CD（垂线段最短）∴AB＞AC＞CD＞DE例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,试比较四条线段AB、AC、DC和DE的大小。“垂线”、“垂线段”的区别：3移:移动三角板到已知点;解:过P点作PA⊥于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.∴∠AOD=90°（垂直的定义）已知：如图AD＜AE＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？例3、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,试比较四条线段AB、AC、DC和DE的大小。a叫b的垂线，b也叫a的垂线。设计者谢汝荡如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？∵∠ABC=90°()4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.则所画直线AB是过点A的直线的垂线.∴∠AOD=90°（垂直的定义）问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？1-6中的一些互相垂直的线条.∵∠ABC=90°()当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。已知：如图AD＜AE＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？2）文字：a、b互相垂直,垂足为O垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。CAB0m20m30m10m0m20m30m10m8m25m答:……。

例4、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离,（2）货场B到铁道的距离。0cm20cm30cm10cmABCMPQ0cm20cm3