中考复习一线三等角模型的应用课件

“一线三等角”模型的应用中考专题复习模型呈现直角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA——“一线三直角”模型呈现锐角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB模型呈现钝角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB引例：如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使得点D落在BC上点F处，若AB=3，BC=5.求CE的长.方法一：利用勾股定理，略方法二：利用相似三角形简解：设CE=x，则DE=3-x.由折叠可知AF=AD=5,∠AFE=∠D=90°由勾股定理得，BF=4，∴CF=BC-BF=1.由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，又∵∠B=∠C∴△ABF∼△FCE,∴(BF/CE)=(AB/CF)即(4/x)=(3/1)，∴x=(4/3)问题牵引问题1：如图，在△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，E,D,F分别在AB,BC,AC上，且∠EDF=45°,试判断△DBE与△FCD是否相似？并说明理由证明：∵AB=AC，∠BAC=90°,∴∠CBA=∠ACB=45°，∴∠BED+∠BDE=135°，∵∠FDE=45°，∴∠CDF+∠BDE=135°，∴∠BED=∠CDF，又∵∠CBA=∠ACB∴△EBD∼△DCF.探究新知问题2：若∠B=∠C=∠EDF=60°,△DBE与△FCD是否相似？问题3.当三个角为任意角时，结论还成立吗？（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，E,D,F分别在AB,BC,AC上，且∠EDF=∠B.这时△DBE与△FCD是否依然相似？证明：∵∠EDF=∠B，∠EDC=∠B+∠BED,∴∠BED=∠FDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△EBD∼△DCF.（2）如图2，点D在BC上，且∠EDF=∠B=∠C.上述结论是否成立？一线三等角：当某条直线或线段上的依次排列着三个等角时，首尾两个角所在的三角形相似，我们把这种特殊的相似，叫做“一线三等角”。基本方法：利用三角形的外角的性质，实现角的关系转换，进而运用相似三角形的判定定理加以证明。抽象模型问题4.下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形(对应顶点写在对应位置）图形辨析

1.以等腰(等边)三角形为背景的“一线三等角”问题

例1.（2013.天津）如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°.则AE长为

.解析：由题意可知，∠B=∠C=∠ADE，易证△EBD∼△DCF∴(CE/BD)=(CD/AB)∵AB=BC=9，BD=3∴CD=6∴CE=(3x6/9)=2，∴AE=7.变式应用模型应用（2018·连云港·16）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=

，则AB的长为

．

三垂直型方法突破例题例6如图,在正方形ABCD中,Q是CD的中点,PQ⊥AQ.求证:BP=3CP.高分特训

3.中考压轴题中的“一线三等角”问题例3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是边BC上的动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α,DE交AC于E，且cosα=4/5.下列结论：(1)△ADE~△ACD；(2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等；(3)△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；(4)0<CE≤6.4.其中正确的是

.（把正确的序号填在横线上）简析：对于（1），由题意可知，∠B=∠C=∠ADE，∠DAE=∠CAD，可证△ADE∼△ACD.故（1）正确；对于（2），过A作AFBC于F，则F是BC中点.因为cosα=BF/AB=4/5,所以BF=8,所以BC=16，当BD=6时，CD=10，所以CD=AB,由一线三等角模型可知△ABD~△DCE，故△ABD≌△DCE.故（2）正确；3.中考压轴题中的“一线三等角”问题例3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是边BC上的动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α,DE交AC于E，且cosα=4/5.下列结论：(1)△ADE~△ACD；(2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等；(3)△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；(4)0<CE≤6.4.其中正确的是

.（把正确的序号填在横线上）对于（3），∠C不可变，故应分∠DEC或∠EDC为直角两种情况讨论：如图，当∠DEC=90°时，△ABD∼△DCE可知∠ADB=90°,故D为BC中点，所以BD=8；如图，当∠EDC=90°时，由△ABD∼△DCE可知∠BAD=90°,由cosα=AB/BD=4/5.可得BD=12.5.故（3）正确；3.中考压轴题中的“一线三等角”问题例3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是边BC上的动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=α,DE交AC于E，且cosα=4/5.下列结论：(1)△ADE~△ACD；(2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等；(3)△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；(4)0<CE≤6.4.其中正确的是

.（把正确的序号填在横线上）对于（4），因为D不与B、C重合，故CE>0;关键是判断CE≤6.4是否正确。不妨设CE=y，BD=x，则CD=16-x，由△ABD∼△DCE，可得CE/BD=CD/AB，所以y/x=16-x/10，即y=（16x-x2）/10，当x=8时，y最大值为6.4，故CE最大值为6.4，所以0<CE≤6.4.故(4)也正确。方法突破例题例7如图,已知抛物线y=-x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点,连接AO,BO,若∠AOB=90°,则点B的坐标为

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三垂直型方法突破例题8.如图,在平面直角坐标系中,把矩形OABC的顶点O放在原点处,把其边OA,OC分别放在x轴的正半轴、y轴的正半轴上,点D在OC边上,把△BDC沿直线BD翻折,点C的对应点恰好落在x轴上的点E处,已知B(10,8),则直线BD的解析式为

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三垂直型突破点6方法突破例题9.在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为

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10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为

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三垂直型突破点6方法突破例题

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三垂直型突破点6方法突破例题高分特训

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