山东省菏泽市大人中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

山东省菏泽市大人中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象F向右平移，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是,则的一个可能取值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B将函数的图象F向右平移，得到函数的图像，再向上平移3个单位，得到函数的图像F′,因为F′的一条对称轴方程是,所以，所以，因为的一个可能取值是，选B。2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是……（

）A．a2+a13

B．a2·a13

C．a1++a15

D．a1·a8·a15参考答案：答案：C

3.给出下列命题：①命题：“?x0＞0，sinx0≤x”的否定是：“?x＞0，sinx＞x”；②函数f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；④设m，n为直线，α为平面，若m∥n，m∥α，则n∥α．其中正确命题的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定定义即可判断正误；②函数f（x）=sinx+（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1），则g（t）=t+，利用导数研究其单调性极值，即可判断正误；③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即可判断正误；④由条件可得：n∥α或n?α，即可判断正误．解答： 解：①命题：“?x0＞0，sinx0≤x”的否定是：“?x＞0，sinx＞x”，正确；②函数f（x）=sinx+（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1]，则g（t）=t+，g′（t）=1﹣＜0，因此函数g（t）在（0，1]单调递减，有最小值3，因此不正确；③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC是等腰或直角三角形，正确；④设m，n为直线，α为平面，若m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性与极值、解三角形、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知i为虚数单位，复数，，若复数z是纯虚数，则（

）A．1

B．

C．2

D．4参考答案：C，若复数是纯虚数，则，所以.所以，则.故选C.5.已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]参考答案：D【考点】偶函数；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）≤f（x﹣2）在[，1]上恒成立，将问题转化为有关x的不等式在[，1]上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，从而且对恒成立，∴a≥﹣2且a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．【点评】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会与反思，属于中档题．6.设满足约束条件，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为A．

B．

C．

D．4参考答案：A略7.在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i+1，则=1﹣i对应的点的坐标（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．8.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“?”中应填的执行语句是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积定义解答．解答： 解：因为向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为，||cos=﹣×=﹣；故选C．点评：本题考查了向量的数量积定义的运用求向量的模．10.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3

B．100cm3

C．92cm3

D．84cm3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，已知函数是定义域为R的偶函数，当时，

若关于x的方程有且只有7个不同实数根，则的取值范围是

．参考答案：试题分析：函数的图象如下图所示，由图可知，若关于的方程有且只有个不同实数根，则关于的的一元二次方程的两根，其中一根为1，另一根在开区间内，所以，有所以，所以答案应填：．

12.如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为

。参考答案：13.在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．14.=

。参考答案：15.函数（）的反函数是

.参考答案：，由得，所以。当时，，即，（）。16.直线的方向向量与x轴的正方向上的单位向量的夹角是_

。参考答案：1200或60017.若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答： 解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．19.如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可证明：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）取AC中点N，连MN，DN．由VA﹣DMC=VD﹣AMC得点A到平面DMC的距离，即可求直线AD与平面DMC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴，又AB=4，满足AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC…∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，∴BC⊥平面ADC…（Ⅱ）解：取AC中点N，连MN，DN．在Rt△ADC中，DN⊥AC且，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，在△ABC中，MN∥BC且=由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，则MN⊥平面ADC，又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即，…在△ABC中，，∴…设点A到平面DMC的距离为h，则由VA﹣DMC=VD﹣AMC得解得，设AD与平面DMC所成角为θ，则，∴直线AD与平面DMC所成角正弦值为．…20.袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E.参考答案：解:（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为

………2分从8个球中摸出2个小球的种数为

………………3分故所求概率为

………………4分（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，

共有种

………………5分一种是有2个红球，1个其它颜色球，

共有种，

………………6分

一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，

故符合条件的不同摸法共有种.

………………8分由题意知，随机变量的取值为，，.其分布列为：123

………11分

……12分

略21.（13分）已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：．参考答案：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解析：解法1：（I）证：由，有，

．（II）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是

．当时，

．当时，

．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：

，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．22.已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范