高中数学：空间几何体的表面积与体积-课件13

第1课时

柱体、锥体、台体的表面积1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并了解柱体、锥体和台体表面积之间的关系.3.初步掌握面积在实际生活中的应用.12341.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和.12342.圆柱的表面积(1)侧面展开图:圆柱的侧面展开图是一个矩形,其中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图所示.2)面积:圆柱的表面积S表=S侧+2S底.若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S侧=2πrl,表面积S表=2πr(r+l).1234【做一做1】

若圆柱OO'的底面半径r=2cm,母线长l=3cm,则圆柱OO'的表面积等于

cm2.

解析:S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).答案:20π12343.圆锥的表面积(1)侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图所示.(2)面积:圆锥的表面积S表=S侧+S底.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧=πrl,表面积S表=πr(l+r).1234【做一做2】

若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于(

)

A.15 B.15π C.24π D.30π解析:S侧=πrl=π×3×5=15π.答案:B12344.圆台的表面积(1)侧面展开图:圆台的侧面展开图是一个扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图所示.(2)面积:圆台的表面积S表=S侧+S上底+S下底.若圆台的上、下底面半径分别为r',r,母线长为l,则侧面积S侧=π(r+r')l,表面积S表=π(r2+r'2+rl+r'l).1234【做一做3】

若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(

)A.72 B.42π C.67π D.72π解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.答案:C1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系剖析当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,变成圆柱;当圆台的上底面缩为一个点时,变成圆锥.说明:以上公式中字母意义参照本课时知识梳理.2.推导圆台的侧面积公式剖析如图,圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径分别为r',r,母线长为l,那么题型一题型二题型三题型四【例1】

粉碎机的下料斗是正四棱台形(两个底面均是正方形,侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形),如图所示,它的两个底面边长分别是80mm和440mm,侧棱长是300mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少?题型一题型二题型三题型四反思解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积,其次将实物转化为空间图形,最后转化为平面图形进行处理.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为(

)题型一题型二题型三题型四解析:由题意知侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形.在△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=AC=a,答案:C题型一题型二题型三题型四【例2】

已知圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的圆心角是180°,则圆台的表面积是多少?分析:解:如图,设圆台的上底面周长为c

cm.因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10(cm),所以SA=20

cm.同理可得SB=40

cm,所以AB=SB-SA=20

cm,所以S表=S侧+S上底+S下底=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100

π(cm2).故圆台的表面积为1100

π

cm2.题型一题型二题型三题型四反思求旋转体表面积的关键在于求其侧面积,“还台为锥”是常用的解题策略.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】

若把轴截面是等边三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面面积的(

)A.4倍

B.3倍

解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则l=2r,所以侧面积S侧=πrl=2πr2.因为底面面积S底=πr2,所以侧面积是底面面积的2倍.答案:D题型一题型二题型三题型四【例3】

如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π取3.14)

解:正方体的表面积为4×4×6=96(cm2),圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2),则挖洞后几何体的表面积约为96+6.28=102.28(cm2).反思求组合体的表面积时,通常先将所给组合体分成基本的柱体、锥体、台体,再通过这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,进行求和或作差,从而获得组合体的表面积.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】

牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你算出要搭建这样