江西省宜春市楠木中学高三数学理测试题含解析

江西省宜春市楠木中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“k＞”是“直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合直线和圆相交的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交，则圆心（1，0）到直线kx﹣y+k=0的距离d＜r，即＜1，即2|k|＜，解得k＜﹣或k＞，∴k＞”是“直线y=k（x+1）与圆（x﹣1）2+y2=1相交的既不充分也不必要条件．故选：D．2.若正实数满足，则的最小值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A3.若存在实数x，使丨x-a丨+丨x-1丨≤3成立，则实数a的取值范围是（

）A.[-2,1]

B.[-2,2]

C.[-2,3]

D.[-2,4]参考答案：D4.函数的图象只可能是

()参考答案：A略5.设则二项式的展开式中的系数为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.已知等差数列{an}的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（）A．2

B．3

C.5

D．7参考答案：C由成等比数列得，选C

7.函数的大致图象为参考答案：A8.将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出三封信件投入两个邮箱的所有种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．【解答】解：三封信件投入两个邮箱的所有种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32?A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．9.（

）

A.-2

B.0

C.3

D.4

参考答案：D略10.等差数列满足:,则=（

）

A.

B.0

C.1

D.2参考答案：B因为①，又由等差中项公式得②，由①②得，所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为奇函数，当时，；当时，，若关于的不等式有解，则的取值范围为

.参考答案：略12.已知函数为奇函数，函数为偶函数，=

；参考答案：-113.已知全集，是整数集，集合，则中元素的个数为

个参考答案：414.已知f是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射f下的象为实数z，记作.对于任意的正整数，映射由下表给出：则__________，使不等式成立的x的集合是_____________.参考答案：

略15.如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则

___________．参考答案：略16.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，则的值为

．参考答案：1略17.如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是．参考答案：6考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．分析：由题意可得

=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．解答：解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=?3?cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走①号公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走②号公路堵车的概率为，不堵车的概率为．由于客观原因甲、乙两辆汽车走①号公路，丙汽车走②号公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.（Ⅰ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求汽车走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.参考答案：（本题满分12分）（Ⅰ）由已知条件得

……………3分即，则

………………5分（Ⅱ）：可能的取值为0，1，2，3

………6分

；

；

……10分的分布列为：所以………………12分【解析】略19.如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质．【分析】（1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出的值即可．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，∴BD⊥CD，BD⊥PD，又PD∩CD=D，∴BD⊥平面PCD，又PE?平面PCD中，∴BD⊥PE，即PE⊥BD；（2）如图所示，连接BE，交DM与点F，∵PE∥平面DMN，∴PE∥NF，又点N为PB中点，∴点F为BE的中点；∴DF=BE=EF；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF是等边三角形，设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；∴==．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，是综合性题目．20.已知向量，把函数f（x）=化简为f（x）=Asin（tx+?）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：x①

tx+?02π

f（x）010﹣10（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间上的值域；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c=2，a=，求．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2），由T=2（）=π，可求ω，由x∈，可求2x﹣的范围，即可求得f（x）的值域．（Ⅱ）由f（）=sin（A+）=1，根据A+的范围，可解得A，由余弦定理解得b，cosB，利用平面向量数量积的运算即可得解．解答：解：（Ⅰ）①处应填…1分f（x）=m?n+=sinωxcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）…3分因为T=2（）=π，所以由，ω=1．∴f（x）=sin（2x﹣）．因为x∈，所以﹣≤2x﹣≤，所以﹣1≤sin（2x﹣）≤，∴f（x）的值域为…6分（Ⅱ）因为f（）=sin（A+）=1，因为0＜A＜π，所以＜A+＜，所以A+=，A=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得（）2=b2+22﹣2×，即b2﹣2b﹣3=0，解得b=3或b=﹣1（舍去），∴cosB==．所以=||||cosB=2×=1…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量数量积的运算，考查了余弦定理的应用，属于中档题．21.设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.参考答案：解：（Ⅰ）不等式的解集为，所以，不等式的解集为，．…3分（Ⅱ）函数的定义域为，显然有，由柯西不等式可得：

，当且仅当时等号成立，即时，函数取得最大值.…7分22.（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计频数

b

频率a0.25

（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a=b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,1