汽车及发动机优化设计练习及答案

一、填空题目标函数 是设计变录的标录函数。组成优化设计数学模型的三要素是设计变畳・目标函数、约束条件。机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要与关傩的一步，它是取得正确结果的前提。4・设计空间中的一个点就屋一种 设计方案 。设计空间是所有设计方案的隼合下降迭代算法中的三个要素長：搜索方向、搜索步长■收敛准那么。方向导数是函数在某点沿指定方向的变化率。8・约束条件可以用数学等式或不等式未表示。目标函数是n维变左的函数，它的函数图像只能左n+1,空间中描述出未，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。二元函数在某点处取停极值的必要条件長V(Xo)=o充分条件是邃点处的海赛矩阵正定11・多元函数F(x)在宙处梯度vF(x*)=0長极值存在的 必要条件。拉榕朗日乘于法的根本思想是通过増加变左将黑式约束 优化问题变成卫约束优化问题,这种方法又被称为#1法。数值解法的一躲迭代公式是_x"=0T 其核心是建立搜索方向,与计算最正确步长—公式表示了数值迭代搜索法由K到点(K+1J间的搜索情况，式中』表示梭索方向，・6表示梭索步长°15・由干函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度值的模为第,因此当迭代点的函数梯度的模亡充分小时，那久认为迭代:可以终止。1G凸规划的一个重要性质是：凸规划的任何局部极小解一定是」最优解。17•函数/(“)*+才-址+5在X。弋点处的梯度为,海窦矩函数变化率最大的方向是梯度方向，函数变化率最大的数值長梯度的模。19.函数F(x)=3X12+x22-2xxx2+2在点(1,0)处的梯度为(G-2F o黄金分割法又叫0.G13法是一种等比例 缩短区间的直按搜索方法。在单埠搜索区间［db］内，任取两个试算点al,a2,(R设两点的函数值F(al)>F低2),那么缩小后的区间 hl,b］ °22•最速下降法以—员梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法,其收敛速度较_3改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩各种多维优化方法之间的主要差异是左于构造的 搜索方 O二、料1・〔D〕更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程。曲线或曲面B.曲线或爭值面C.曲面或等值线D.等值线或爭值面2・机械最优化设计问题多属干〔C〕优化问题°A.约束线性 B.无约束线性C.约束非线性 D.无约束非线性3.当设计变左数目〔B〕时，该设计问题称为中型优化问题。n<10 B.n=10~50C.n<50 D・n>504・梯度方向是函数具有〔D〕的方向。最速下降 B.最速上升C.最小变化D.最大变化率。假设矩阵A的各阶顺序主于式均大干零，那么该矩阵为〔A〕矩阵A.正定 B.正定二次型 C.负定 D.负定二次型为了确定函数单埠区间内的极小点，可按照一定的规律给出假设干试算点，依次比拟各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按〔A〕变化的单埠区间为止。A.高一低一高B.高一低一低C.低一高一低D.低—低—高。梯度法与牛頓法可看作是〔C〕的一种特例。A.共相梯度法 B.共梅方向法C.变尺度法D.复合形法8-数F(X)为在区间［10,20］内有极小值的单峰函数，进展一维搜索第：

时，取两点13与1G,假设F(13)<F(16),那么缩小后的区间为〔AA.[10,16]B.[10,13]C.[13,16]D.[16,20]9目标函数F(x)=xl2+x22.xlx2,具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=xl+x2-l=0,那么目标函数的极小值为〔CA・1 B.0.5 C.0.2510—个多元函数F図在P附近偏导数连练那久该点为极小值点的充要条件是〔C〕。ANF(0)=0 CSF(x*)=0,G(x*)正定G(x*)=0 D5F(P)=0,G(P负定11对于多元函数的无约束优化问题，判断其最优点可以根据〔A〕。A.目标函数的梯度判定 C.目标函数的形态判定B.目标函数的凹凸性判定 D.目标函数值的大小判定12•假设矩阵A的所有奇数阶主子式小干零，而所有偶数阶主于式大干那么该矩阵为〔C〕矩阵。A.正定 B.正定二次型C.负定 D・负定二次型求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的桔式都長从某一定点屮出发，沿看某一使目标函数〔D〕的规定方向S(K)搜索，以找出此方向的极小点X(K+1\A.正定负定上升A.正定负定上升下降0.G1S法是一种〔C〕缩短区间的直按搜索方法。A.等与 B.等差 C.黑比 D.等积[2-1]15・海森矩阵H(X(O))=Lt叮其逆矩阵[H(X(O))]7为〔B〕。多元函数F(X)在X*处存在极大值的充分必要条件是：在X“处的Hessian矩阵〔C〕。A.等干零 B.大于零 C.负定 D.正定对干一个无约束优化问题，假设其一阶、二阶偏导数易计算,且设计变录不多(n$20),宜选用的优化方法是〔A〕。A.拟牛顿法B.变尺寸法 C・0.618法D・二次捕值法机械优化设计中，但凡可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为〔C〕。A.设计变左 B.目标函数C・设计常益D.约束条件当设计变左数目〔A〕时，该设计问题称为小型优化问题。A.nvlO B.n=10~50C・n<50 D・n>50当满足〔A〕条件时，矩阵A为正定矩阵。A・各阶顺序主于式均大于零 C.各阶顺序主于式均小干零

B・所有偶数阶主于式大于零 D・所有奇数阶主于式小干零在任何一次迭代计算过程中，当起步点与搜索方向确定后，求系统目标函数的极小值关键就在于求出〔C〕的最优值问题。A.约束 B.等值线 C.步长 D.可行域22・在设计空间内，目标函数值相黑点的连线，对于三维以上问题，构成了〔D〕。A.黑值域 C.同心椭圆族B.等值面D.B.等值面23・在以下无约束优化方法中，〔C)冊要计算Hcssian矩阵。A.powull法A.powull法梯度法C・牛顿法D.共椀梯度法优化设计的自由度長指〔AJo设计空间的维数 C.可选优化方法数所提目标函数数 D.所提约束条件数对干函数F(x)=xl2+2x22,从初始点x(O)=[l,i]T出发,沿方向s(0)=[-1,・2]T进展一维搜索，最优步长因于为〔B〕。A.10/1G B.5/9 C.9/34 D.1/2函数F(U=.i「-扌+4人在点x=[3.寸处的梯度是〔cA・[7厅B・[73]'C. D・0纣

优化设计的数学模型中，设计变益是一组〔C)的根本参数。A.相互依賴 B.互为因果关系C・相互曲立 D.相互约束23.在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对干二维问题，构成了〔A〕。A.等值线 B.等值面 C.同心椭圆族D.等值超曲面工程优化设计问题的数学本质是求解〔A〕的极限值。多变录非线性函数 C.多变爲线性函数少变壬非线性函数 D.多常录线性函数函数f(X)在给定点X(K)的梯度向益是函数誓值线在该点X(K)的〔D〕方向。A・越近线方向B.平行线方向C・切线方向 D.法线方向31・f(Xl,X2)在点X*处存在极小值的充分条件是：要求函数在X)处的Hesoian矩阵H(Xj为〔B〕。A.负定 B.正定 C.各阶方子式小干零D・各阶方于式等于零32.利用黄金分割法选取内分点原那么是每次舍弃的区间是原区间的〔C〕倍。A.0.G18B・0.5A.0.G18B・0.5C・0.38233・函数F(X)=xl2+x22-3xlx2+xl-2x2+l,那么其Hcssian矩阵長〔A]on元函数左X"点附近沿看梯度的正向或反向按给定步长改变设计变录时，目标函数值〔A〕。A・变化最大B.变化最小C.近似恒定 D.变化不确定当设计变益数目〔D〕时，该i殳计问题称为大型优化问题。A.n<10 B.n=JL0~50C・nV50 D・n>50工程优化设计问题大多是〔C〕规划问题。A・A・多变录无约束的非线性B・多变益无约束的线性函数的梯度是一个〔B〕。A.标量 B.向益偏导数C・多变左有约束的非线性D・多变左有约束的线性C・T阶偏导数 D.—阶3S.黄金分割法長一种等比的缩短区间的〔B)方法。A・间按搜索 B.直按搜索 C.下隆搜索 D.上升搜索39・实际工程中约束问题的最优值f(XJ不一定是目标函数的自然最小

值，但它却是〔C〕的最小值。A.函数可行域内 B.约束条件限定下约束条件限定的可行域内 D.捷化为无约束下40•利用0.618法在搜索区间[db]內确定两点al=0.382,bl=0.G13,由此可知区间[a,b]的值長〔D〕。A.[0,0.382] C・[0.618,1]B・[0.332,1] D・[0,1]41・约束极值点的库恩一塔克条件为"(X)—£人心“丿，当约束条件t-i&(X)<0(i=l,2,-,m)与Ai>0时，那么q应为〔B〕。等式约束数目起作用的等式约束数目不爭式约束数目起作用的不爭式约束数目42・n元函数F(X)在点X处梯度的模为〔D〕。竺…竺A.|它尸|=丫陆dx：%竺…竺A.|它尸|=丫陆dx：%B.|VF|=••嗚C.pF|=|吓|』卸5釜八7記：函数F(X)=Zxr+x：-xlx2+l,那么其Hessian矩阵長(:A〕。

D・D・在设计空间内，目标函数值相黑点的连线，对于四维以上问题，构成了〔D〕。A・等值域B.爭值面C.同心椭圆族 D.黑值超曲面一维优化方程可用干多维优化问题在既定方向上寻求〔C〕的一维搜索。A.最优方向 B.最优变录C.最优步长D.最优目标凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点称为〔D〕。A.边界设计点B.极限设计点C•外点 D•可行点当满足〔B〕条件时，矩阵A为负定矩阵。A.各阶顺序主于式均大干零 C・各阶顺序主于式均小干零B・所有参数阶主于式小于零 D・所有参数阶主子式大于零43.〔A〕的主要优点是省去THessian矩阵的计算，被公认为是求解无约束优化问题最有效的算法之一。变尺度法 C.惩罚函数法复合形法 D.坐标轮换法三、简答题什么長内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题長什么？在构造惩罚函数时，內点惩罚函数法与外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？1）内点惩罚函数法是将新目标国数定义干可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用未求解具有不爭式约束的优化问题。内点惩罚函数法的惩罚因予是由大到小，且越近干0的数列。相邻两次迭代的惩罚因子的关系为—k",2,…）£为惩罚因于的缩减系数，其为小于1的正数，通常取值范圉在0.1-0.72］外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用未求解含不等式与誓式约束的优化问题C外点惩罚函数法的惩罚因于，它是由小到大，且趋近于X的数列。惩罚因于按下式递増,之宀伙"2,…几式中《为惩罚因于的递増系数，通常取＜=5-102・共範梯度法中，共枫方向与梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。・对于二次函数，门x）VxSx+yx+.从0点出发，沿G的某一共施方向/作一维搜索，到达X"点，那久X"点处的搜索方向0应满足（艸（恥-&上0,即终点X"与始点X；的梯度之差弘厂纨与屮的共扳方向小正交。3・为什么说共相梯度法实质上是对最速下降法进展的一种改良？.答：共施梯度法是共勉方向法中的一种，在该方法中每一个共椀向录都依棘干迭代点处的负梯度构造出未的。共相梯度法的第一个搜索方向取员梯度方向，这長最速下降法。其余各步的梭索方向長将负梯度偏扶一个角度，也就是对员梯度进展修正。所以共施梯度法的实质是对最速下降法的一种改良。5•算法的收敛准那么由哪些？试简单说明。G.优化i殳计的数学模型一般有那几局部组成？简单说明。7.简述复合形法的根本思弗三、计算题1.试用牛顿法求/(X)=8V+5a?的最优解，设X0>=[1O10]Jo〔迭代一次即可〕初始点为X⑼珂1010]\那么初始点处的函数值与梯度分别为/(X°)=17OO16兀+4叩_16兀+4叩_4.v+10.r.JV(x°)=140心为一维搜索最正确步长，应满足极值必要条件从而算出一维搜索最正确步长596001060000=0.0562264那么第一次迭代设计点位量与函数值从而算出一维搜索最正确步长596001060000=0.0562264那么第一次迭代设计点位量与函数值XQ10-2OO€rol_T-1.2452830"10-140aJ"L2.1283019/(Xl)=^528302,从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进展下去,便可求得最优解。试用黄金分割法求函数/d+罟的极小点与极小值，设搜索区间页[“]=[0・2』〔迭代一次即可〕解:显然此时，搜索区间[“]叫0.2』,首先插入两点务和並,由式计算相应插入点的函数值f&)=40.0626J(az)=29.4962。因为 所以消去区间[询，得到新的搜索区间囱问，即k；上]=[a,b]=[0.5056.1]o第一次迭代：橢入点a产0.6944, a.=0.5056+0.618(1-0.5056)=O.SU1相应插入点的