北京中央工艺美术学院附属中学 高三数学理上学期期末试卷含解析

北京中央工艺美术学院附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，实数m，n满足，则的最大值为

A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：D2.设函数若，则实数t的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A3.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.已知集合，，则中所含元素的个数为(

)A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B略5.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D6.已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据样本点中心满足回归方程依次代入验证即可.【详解】解;根据样本点中心满足回归方程，且为负相关，依次代入选项验证，对于D成立，故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的性质，属于基础题.7.已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（

）A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：C设，则，是以8为首项，为公比的等比数列，，不等式可化为，最小整数是7.选C．8.设函数的定义域为R,且对任意的都有.当时，.若在区间上关于X的方程有五个不同的实数根,则a的取值范围是A.(1,2)

B.

C.

D.参考答案：D9.若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（） A．3 B． 4 C． 5 D． 6参考答案：A略10.方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（

）A、60条

B、62条

C、71条

D、80条

参考答案：B

本题可用排除法，，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又和时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为

．参考答案：12.若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．参考答案：6考点：基本不等式．

专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13.给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：

．已知等差数列的前项和为，，为不共线向量，又，若、、三点共线，则；“”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；设函数的最大值为，最小值为，则；已知函数，若，且，则动点到直线的距离的最小值为1.参考答案：略14.已知各项均为正数的等比数列中，则

。参考答案：27【知识点】等比数列.

D3

解析：（负值舍去），所以.【思路点拨】由已知条件求出首项和公比即可.15.已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若，则的取值范围为

☆

．参考答案：16.下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值S的取值范围是

．参考答案：[0,1]由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：

17.在中，角所对的边分别为．已知，，，则=

．参考答案：7由余弦定理：，解即得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016秋?贵州月考）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=，DE=2，且直线AE与CD所成角为，AB⊥CD．（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，利用线面垂直的判定得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面ABC⊥平面BCDE；（Ⅱ）过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）可得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，进一步得到∠AEF为直线AE与CD所成角，然后求解直角三角形得AF=．进一步得EF=2，然后利用等积法求得三棱锥C﹣ABE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又CD?平面BCDE，∴平面ABC⊥平面BCDE；（Ⅱ）解：如图，过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，∴．在△ACF中，=12，∴AF=．…（9分）在Rt△AEF中，可得EF=2，∴．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质和判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.参考答案：解：，

……………1分令．（Ⅰ）当时，函数，，．曲线在点处的切线的斜率为．

…………2分从而曲线在点处的切线方程为，即．

………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．设，（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；……………8分由，即，得．………9分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

……11分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时

在上单调递增．………………13分20.已知函数(1)对比较与的大小；(2)若试求实数a的取值范围.参考答案：(1)对由－=得.(2)由在上恒成立,所以只须所以所求实数的取值范围是21.已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出，再解出函数的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出再由0＜a＜b得出，代入即可证明出不等式．【解答】解：（Ⅰ）当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分当m＞0时，由则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m＞0时，只需m﹣lnm﹣1≤0即….6分令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分（Ⅲ）由0＜a＜b得，由（Ⅱ）得：，则，则原不等式成立．…12分【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的最值，及不等式的证明，考查了转化的思想及推理判断的能力，综合性较强，解题的关键是准确理解题意，对问题进行正确转化，熟练掌握导数运算性质是解题的重点，正确转化问题是解题的难点．22.(本题满分15分）已知抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；（2）设点在轴上，若