山西省吕梁市城北中学2022年高三数学理上学期摸底试题含解析

山西省吕梁市城北中学2022年高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点的个数为（

）A.2 B.3 C.4 D.6参考答案：C【分析】将原题转化为求方程的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数的零点个数，即方程的根的个数，考虑，定义在的偶函数，当时，，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当时有两根，根据对称性可得：当时有两根，所以一共4个根，即函数的零点的个数为4.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解.2.对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

） A、 B、

C、或 D、或参考答案：A3.函数的定义域是（）A． B． C． D．[0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣且x≠0，故选：B．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．4.已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．【解答】解：∵，∴f′（x）=2f′（）x+cosx，∴f′（）=2f′（）×+cos，解得f′（）=，故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．5.若函数的值域为R，则实数m的取值范围为(A)

(B)(—∞,0)

(C)

(D)参考答案：C6.已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：SPCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：： D．：：参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知得．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，则P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，由此能求出S△PBC：S△PCA：S△PAB的值．【解答】解：∵P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，∴．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，连结PB1、PC1、B1C1，则．∴P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，，S△PCA=，S△PAB=，∴S△PBC：S△PCA：S△PAB==2：3：4．故选：B．7.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转后，终边经过点，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。【详解】设旋转之后的角为，由题得，，，又因为，所以得，故选B。【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题。8.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．9.已知函数f（x）=若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0） B．[0，1] C．（0，1] D．[﹣2，0]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】①当x≤1时，f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，分离参数a，利用恒成立思想可求得a≥﹣2；②当x＞1时，|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1），作图，由函数图象可知a≤0，从而可得答案．【解答】解：①当x≤1时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤0，所以|f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，即a（x﹣1）≤x2﹣4x+3=（x﹣1）2﹣2（x﹣1），因为x≤1，所以a≥x﹣1﹣2恒成立，所以a≥﹣2；②当x＞1时，f（x）=lnx＞0，所以|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1）恒成立，如图：由函数图象可知a≤0，综上，当﹣2≤a≤0时，不等式|f（x）|+a≥ax恒成立故选：D10.设全集，集合，则集合=

（▲）A．

B． C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间上随机取一个数，使得函数有意义的概率为_________.参考答案：略12.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有

，下面一定有雷的方块有

.（请填入所有选定方块上的字母）图甲

图乙参考答案：BDEF(3分)；AC（2分）略13.设，，若，则实数_____.参考答案：14.若点是曲线上一点，且在点处的切线与直线平行，则点的横坐标为________

参考答案：115.程序框图如右图所示，其作用是输入空间直角坐标平面中一点，则输出相应点，若点的坐标为.若为坐标原点，则__________;参考答案：16.若直线与直线互相垂直，则实数的值为

参考答案：1略17.已知x，y满足约束条件，若，则z的最大值为___．参考答案：7画出，满足约束条件的平面区域，如图所示：将转化为，通过图象得出函数过时，取到最大值，，故答案为7．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈t，t+2，不等式f(x+t）≥2f(x)恒成立，求t的取值范围。参考答案：f(x+t）≥2f(x)=f(),又函数在定义域R上是增函数故问题等价于当x属于t,t+2时x+t≥恒成立恒成立，令g(x)=，

解得t≥.19.(本题满分13分)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线与椭圆C交于、两点，满足直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为，则，解得，所以，椭圆方程为．

……（5分）（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，，由消去得，则，且，．故．因为直线，，的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即．由于直线，的斜率存在，且△＞0，得且．设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为．………………(13分)20.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

参考答案：P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大

解析：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π?R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．

略21.诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%

（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.参考答案：（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：.（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列为：0123

.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由和到看出，后继一周都有提升．22.已知，其中a＞0．（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；参考答案：②当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减增f（0）减∴f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（﹣1，0），；当a=1时，f（