2021年广东省江门市台山李谭更开纪念中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年广东省江门市台山李谭更开纪念中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．D．参考答案：B=，∴=，又=，∴

答案B2.若向量满足：则

（

）A．2

B．

C．1

D．参考答案：B3.已知，若，则的最大值为A.1

B.

C.2

D.参考答案：B4.已知a为锐角，且7sina=2cos2a，则sin(a+)=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A5.设数列满足,且对任意,函数满足若则数列的前项和为(

)（原创）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.设函数是公差不为0的等差数列，14，则A．0

B．7

C．14

D．21

参考答案：D7.集合Z},若对任意的都有，则运算*不可能是（A）加法

（B）减法

（C）乘法

（D）除法参考答案：D8.已知：，若同时为假命题，则满足条件的的集合为（

）A．或

B．高考资源网C．或

D．参考答案：D略9.等差数列的前项和，若，则(

)

参考答案：C10.已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（

）A．(0,4)

B．(－∞,0),(1,4)

C.

D．(0,1)(4,+∞)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点,,，设的平分线与相交于，如果，那么等于．参考答案：试题分析：由题意可知,根据三角形内角平分线定理，可知,根据等合比性质，可知,根据两个向量方向是相反的，所以考点：三角形的内角平分线定理，向量共线的条件.12.若不等式t2+at+1≥0对恒成立，实数a的最小值是

．参考答案：﹣考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：因为函数对恒成立，分离参数a，利用均值不等式即可求出最小值．解答： 解：若不等式t2+at+1≥0对恒成立，则at≥﹣t2﹣1，所以，∵，当且仅当t=2时取等号．但是，所以根据函数得单调性，当t=时取最小值．所以a的最小值为﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用均值不等式时取不到等号，要利用单调性来处理问题的方法，属于中档题．13.

．参考答案：14.若正实数满足，则当取最小值时，的值为________.参考答案：515.已知向量，．若向量，则m=．参考答案：解：向量，，，，，．故答案为：．16.已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为

参考答案：217.对于正整数n和m(m<n)定义=(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km)其中k是满足n>km的最大整数,则=________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝－alnx，a∈R．（Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，（ⅰ）当a∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′()≤≤φ′()．参考答案：(Ⅰ)求导数，得f′(x)＝－＝（x＞0）．（1）当a≤0时，f′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无最小值．（2）当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a2．当0＜x＜a2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，a2)上是减函数；当x＞a2时，f′(x)＞0，∴f(x)在(a2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x＝a2处取得最小值f(a2)＝a－alna．故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝a－alna（a＞0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），求导数，得φ′(a)＝－lna．（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a＝1．当0＜a＜1时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函数；当a＞1时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是减函数．∴φ(a)在a＝1处取得最大值φ(1)＝1．故当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1．

（ⅱ）当a＞0，b＞0时，＝－＝－ln，

①φ′()＝－ln()≤－ln，

②φ′()＝－ln()≥－ln＝－ln，

③由①②③，得φ′()≤≤φ′()．略19.（本题满分16分）在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.（1）试用和a表示S；（2）若恰好当时，S取得最大值，求a的值.

参考答案：(1)设边，则，在三角形中，由余弦定理得：，所以，所以，（2）因为，，令，得且当时，，，当时，，，所以当时，面积最大，此时，所以，解得，因为，则.

20.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，已知.（1）若,求的值.（2）若点横坐标为,求.参考答案：(1)解法1、由题可知：，即，

…………2分，得

…………3分

∴

则

…………4分

解法2、由题可知：，

…………1分，

…………2分∵，∴

…………3分，

得

…………4分

（2）解法1、由（1），记，∴，

…………6分∵

，得

………8分

…………10分

∴

…………12分解法2、

即

…………6分即：，，

…………7分

，

…………9分∴

…………10分则

…………12分

略21.（本题12分）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为的导数为，函数。（1）若函数有极值，求的解析式；（2）若函数是增函数，且在上都成立，求实数的取值范围.参考答案：略22.已知．（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设0＜t＜a，证明：f（a+t）＜f（a﹣t）．（ii）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2．证明：x1+x2＞2a．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，并求导函数，确定函数的单调性，可得x=a时，f（x）取得极小值也是最小值；（Ⅱ）（ⅰ）构造函数g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），当0＜t＜a时，求导函数，可知g（t）在（0，a）单调递减，所以g（t）＜g（0）=0，即可证得；（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，所以0＜a﹣x1＜a，利用（ⅰ）即可证得结论．解答： （Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞）．求导数，可得f′（x）=x﹣=．…当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2﹣a2lna．…（Ⅱ）证明：（ⅰ）设g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），则当0＜t＜a时，g′（t）=f′（a+t）+f′（a﹣t）=a+t﹣+a﹣t﹣=＜0，…所以g（t）在（0，a）单调递减，g（t）＜g（0）=0，即f（a+t）﹣f（a﹣t）＜0，故f（a+t）＜f（a﹣t）．…（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，