14.1 直角三角形三边的关系(勾股定理) zhang

勾股定理（1）ABCacbSA+SB=SC

观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2SA=9SB=16SC=25ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）观察左图正方形A中含有

个小方格，即A的面积是

个单位面积。正方形B的面积是

个单位面积。正方形C的面积是

个单位面积。999你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。123（2）（3）ABC（图中每个小方格代表1个单位面积）图2-1把C“补”成边长为6的正方形ABC图2-1（单位面积）把C“补”成边长为6的正方形面积的一半（图中每个小方格代表1个单位面积）ABC（图中每个小方格代表1个单位面积）图2-1分“割”成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1（2）你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积SA=9SB=9SC=18ABC

你认为右图中的A、B、C的面积还存在上述关系吗？与同伴进行交流。议一议AB（单位面积）思考：面积A，B，C还有上述SA+SB=SC的关系吗？用"补”的方法SA=16SB=9ABC分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）

SA+SB=SC用“割”的方法SA=16SB=9ABC（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。议一议

423252SA=16SB=9SC=25猜想:命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2acb下面我们介绍——赵爽证法

下图是2002年北京国际数学家大会会标，为什么选它作为这次大会的会标呢？赵爽弦图∴a²+b²=c²abc(1)弦图证法将一个火柴盒侧面ABCD倒下到A’B’CD’的位置,AB=a,BC=b,AC’=c利用四边形A’D’BA的面积证明勾股定理.BADCA’D’B,思考：abcabc（2）美国总统证法：bcabcaABCD∴a²+b²=c²

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。勾股定理(P109)ACB

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。(P110)AC2+BC2=AB2abca2+b2=c2ACBabc∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴AC2+BC2=AB2

或a2+b2=c2

几何语言：2.使用前提是直角三角形注意:1.a2=c2–b2等.3.分清直角边、斜边结论变形

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；

abcc2=a2+b21.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169比一比看看谁算得快！2.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做1、如图中的各个直角三角形，求未知边的长。34ABC？12？13EFG解：

∵在Rt△ABC中，∠B=90°∴AB2+BC2=AC2

∵AB=

4，

BC=3∴AC2

=42+32∴AC=51、如图中的各个直角三角形，求未知边的长。34ABC？12？13EFG解：

∵在Rt△EFG中，∠F=90°

∴GF2

+

EF2=EG2∴GF2=EG2

-

EF2

∵EG=

13，

EF=12∴GF2

=132–122=169-144=25∴GF=5

１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A小试牛刀1、已知Rt△ABC中，∠C=90°.①若a=5，b=12，则c=

；②若c=10，b=8，则a=

.③若a=2，c=6，则b=

。2、若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x＝

.一定要慎重哦！ACBabc1365勾股定理的应用:(P111笔记)1.已知直角三角形的两边，求第三边(分清直角边和斜边)；2.已知直角三角形的一边与另两边的关系，常设其中一边为x，表示出另一边，再列方程。

如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？议一议：9m24m?15m勾股定理的应用:小鸟飞行8米2米8米828ABCE...

如图.有两棵数,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵数的梢飞到另一棵树的树梢求小鸟至少飞了多少米?

如图.有两棵数,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵数的梢飞到另一棵树的树梢求小鸟至少飞了多少米?828ABCE∴CE=AD=8m,BE=AB-CD=6m答：小鸟至少飞行１０米解：过点C作CE⊥AB,垂足为点E∵在Rt△BEC中，∠BEC=900∴BC2=BE2+CE2=62+82=100∴BC=

100=10mD∵AD=8m,AB=8m，CD=2m86勾股定理的应用:生活实例飞机在空中水平飞行某一时刻刚好飞到一男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机的速度为多少千米每小时？5000BC4000A分析:求BC勾股定理的应用:生活实例飞机在空中水平飞行某一时刻刚好飞到一男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机的速度为多少千米每小时?5000BC4000A解：∵在Rt△ABC中，

∠C=900∴BC2+AC2=AB2

∴BC2

=AB2

-AC2∵AB=5000m,AC=4000m∴BC2=50002

-40002=9000000∴BC=3000m∴飞机飞行的速度为3000÷20×3600÷1000

=540千米/时乙甲勾股定理的应用:航海问题

甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东北方向航行，乙船同时以２0海里／时速度向东南方向航行求它们离开港口２小时后相距多远？北南西东港口分析:求ABABo北南西东港口AB解:根据题意，得AO=

30海里,BO=

40海里∠AOB=900∵在Rt△AOB中，

∠AOB=900

∴AB2=AO2+BO2=402+302

=2500

∴AB=50海里答：它们离开港口2小时后相距50海里.

甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东北方向航行，乙船同时以２0海里／时速度向东南方向航行求它们离开港口２小时后相距多远？o勾股定理的应用:蜗牛走路小蜗牛从A点沿图中的折线ABCD到D点,如果每个小方格的边长是一分米,那么它走了多少米?ABCD解：由图可知所以蜗牛走的路为5+13+10=28分米,即2.8米AB=3+4=522CD=6+8=1022BC=5+12=1322课堂小结⒈勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.⒉勾股定理：

直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方a2+b2=c2⒊勾股定理的主要作用是:在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长.常用的勾股数（笔记）勾股弦345681091215121620512137242581517巩固练习1、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米.2、在三角形ABC中，C=90AC=4，BC=3求斜边AB边上的高CD。ABCD3米5米435学会灵活运用直角三角形面积公式的应用面积法(笔记)ACBabc□hP111例2已知直角三角形的一边与另两边的关系，常设其中一