利用导数研究函数单调性

2021届高考第一轮复习导数及其应用第二节

利用导数研究函数的单调性1高考引航目录2必备知识3关键能力高考引航必备知识答案知识清单一、函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导:①若

f'(x)>0,则

f(x)在这个区间内

单调递增

;②若

f'(x)<0,则

f(x)在这个区间内

单调递减

;③若

f'(x)=0,则

f(x)在这个区间内是

常数函数

.二、导数与函数单调性的关系①在区间(a,b)内,f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件;②若在(a,b)的任意子区间内,f'(x)=0不恒成立,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是可导函数f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件.答案基础训练解析C【解析】由图象可知,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,故f(x)在(4,5)上单调递增.答案解析【解析】因为当x∈(0,π)时,f'(x)=-sin

x-1<0,所以f(x)在(0,π)上单调递减,故选D.2.函数

f(x)=cos

x-x

在(0,π)上的单调性是(

D

).A.先增后减C.单调递增B.先减后增D.单调递减3.函数

f(x)=x-ln

x

的单调递减区间为

(0,1)

.答案解析【解析】由f'(x)=1-1<0,得1>1,即x<1,又x>0,所以函数f(x)的单调递𝑥

𝑥减区间为(0,1).4.已知

f(x)=x3-ax

在[1,+∞)上是增函数,则实数

a

的最大值是

3

.【解析】当x≥1

时,f'(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2,所以a≤3,即实数a

的最大值是3.题型归纳题型一

求不含参数的函数的单调性解析关键能力【例1】(2019

年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln

x-𝑥+1.𝑥-1讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;设

x0

是

f(x)的一个零点,证明曲线

y=ln

x

在点

A(x0,lnx0)处的切线也是曲线

y=ex

的切线.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).𝑥

(𝑥-1)2因为

f'(x)=1+

2

>0,所以

f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1-e+1<0,f(e2)=2-e2

+1=e2

-3>0,e-1

e2-1

e2

-1所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<

1

<1,fቀ

1

ቁ=-lnx1+𝑥1

+1=-f(x1)=0,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点

1

.𝑥1

𝑥1

𝑥1

-1

𝑥1综上,f(x)有且仅有两个零点.𝑥0(2)因为

1

=e-ln

𝑥0

,所以点Bቀ-ln

𝑥0,

1

ቁ在曲线y=ex

上.0

0由题设知f(x

)=0,即ln

x=

0

𝑥

+1𝑥0,故直线AB

的斜率k=𝑥0

1

-ln

𝑥0𝑥0

-1

-ln

𝑥0

-𝑥0

1

-𝑥

0+1𝑥

0-1-𝑥

0+1-𝑥0=

𝑥

0

𝑥

0-1

=1𝑥0.曲线y=ex

在点Bቀ-ln

𝑥0,

1

ቁ处切线的斜率是

1

,曲线y=ln

x

在点A(x0,ln

x0)处切线的𝑥0

𝑥0斜率也是

1

,𝑥0所以曲线y=ln

x

在点A(x0,ln

x0)处的切线也是曲线y=ex

的切线.点拨：求函数单调区间的步骤:确定函数f(x)的定义域;求f'(x);在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.提醒:求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错.A.(0,1]C.(-∞,-1]∪(0,1]B.[1,+∞)D.[-1,0)∪(0,1](2)(2020

届北京高考模拟)已知函数f(x)=x-2sin

x+1.①求曲线y=f(x)在x=0

处的切线方程;②求f(x)在(0,π)上的单调区间.答案解析【追踪训练1】(1)(2020

届河北省二模)函数f(x)=x2-2ln

x

的单调递减区间是(

A

).【解析】(1)f'(x)=2x-2=2𝑥

2

-2(x>0),令f'(x)≤0,解得0<x≤1.𝑥

𝑥(2)①因为f(x)=x-2sin

x+1,所以f'(x)=1-2cos

x,则f(0)=1,f'(0)=-1,所以切线方程为y=-x+1.②令f'(x)=0,即cos

x=1,x∈(0,π),得x=π,2

3当x

变化时,f'(x),f(x)变化情况如下:xቀ0,

𝜋ቁ3𝜋3ቀ𝜋

,𝜋ቁ3f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)在(0,π)上的单调递减区间为ቀ0,πቁ,单调递增区间为ቀπ

,πቁ.3

3𝑥𝑥

2

𝑥

2【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-

1

-1+𝑎

=-𝑥

2-𝑎𝑥+1.①若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1

时,f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若a>2,令f'(x)=0,得x=或x=𝑎-ට𝑎

2-4

𝑎

+ට𝑎

2-42

2.当x∈ቌ0,ቍ∪ቌ𝑎-ට𝑎

2-4

𝑎+ට𝑎

2-42

2,+∞ቍ时,f'(x)<0;当x∈ቌ𝑎-ට𝑎

2-42,𝑎+ට𝑎

2-42ቍ时,f'(x)>0.所以f(x)在ቌ0,𝑎-ට𝑎

2-42ቍ,ቌ𝑎+ට𝑎

2-42,+∞ቍ上单调递减,在ቌ𝑎-ට𝑎

2-42,𝑎+ට𝑎

2-42ቍ上单调递增.题型二

求含参数的函数的单调性解析𝑥【例2】已知函数f(x)=1-x+aln

x,讨论f(x)的单调性.点拨：解决含参数的函数单调性问题时应注意的两点:研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为

0的点和函数的间断点.e𝑥【追踪训练2】(2020

届辽宁高考模拟)已知a≤0,设函数f(x)=𝑎𝑥2+𝑥+𝑎,讨论f(x)的单调性.【解析】f'(x)=-(𝑥-1)(𝑎𝑥+1-𝑎).e𝑥若a=0,则f'(x)=-𝑥-1,当x<1

时,f'(x)>0,当x>1

时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1)上单调e𝑥递增,在(1,+∞)上单调递减.若a<0,由f'(x)=0

得x=1

或x=1-1,因为1-1>1,所以当x<1

或x>1-1时,f'(x)>0,当𝑎

𝑎

𝑎1<x<1-1时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),ቀ1-1

,+∞ቁ上单调递增,在ቀ1,1-1ቁ上单调递减.𝑎

𝑎

𝑎解析题型三

函数单调性的应用解析【例3】(2020

届日照质检)已知函数f(x)=ln

x,g(x)=1ax2+2x(a≠0).2若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a

的取值范围;若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a

的取值范围.【解析】(1)因为h(x)=ln

x-1ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=1-ax-2.2

𝑥因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,1-ax-2<0

有解,即a>

1

-2有解,𝑥 𝑥

2

𝑥𝑥

2

𝑥min设

G(x)=

1

-2,所以只要

a>G(x)

即可.𝑥而G(x)=ቀ1

-1ቁ2-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1.故实数a

的取值范围为(-1,+∞).(2)由h(x)在[1,4]上单调递减知,当x∈[1,4]时,h'(x)=1-ax-2≤0

恒成立,即a≥

1

-2恒成立.𝑥 𝑥

2

𝑥max𝑥所以

a≥G(x) ,而

G(x)=ቀ1

-1ቁ2

-1,max因为x∈[1,4],所以1∈ቂ1

,1ቃ,所以G(x)𝑥

4

16=-7

(此时x=4),所以a≥-

7

,故实数a

的取值范围是ቂ-7

,+∞ቁ.16

16点拨：由函数的单调性求参数的取值范围的方法:可导函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.可导函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.若已知f(x)在区间Ⅰ上的单调性,区间Ⅰ上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令Ⅰ是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.解析【追踪训练3】(2020

届江苏模拟)已知函数f(x)=ax2-bx+ln

x(a,b∈R).若a=1,b=3,求函数f(x)的单调递增区间.若b=0,不等式f(x)≤0

在[1,+∞)上恒成立,求实数a

的取值范围.【解析】(1)由题意得,当x>0,a=1,b=3

时,f(x)=x2-3x+lnx,f'(x)=2x-3+1=(2𝑥-1)(𝑥-1),令f'(x)>0,解得0<x<1或x>1,𝑥

𝑥

22故f(x)的单调递增区间为ቀ0,1ቁ,(1,+∞).𝑥

2(2)若b=0,则f(x)=ax2+ln

x,不等式f(x)≤0

在[1,+∞)上恒成立,即a≤-ln𝑥在区间[1,+∞)上恒成立.令h(x)=-ln𝑥(x≥1),则h'(x)=2ln

𝑥-1,𝑥

2

𝑥

3令h'(x)>0,解得x>√e,令h'(x)<0,解得1<x<√e,2e故h(x)在(1,√e)上单调递减,在(√e,+∞)上单调递增,故h(x)min=h(√e)=-

1

,2e故a≤-

1

.2e故实数a

的取值范围为ቀ-∞,-

1

ቃ.方法突破方法一巧用转化思想,妙求参数转化思想在导数研究函数中应用广泛,如根据函数单调性求参数的一般方法是转化为集合间的包含关系,建立不等式处理或转化为不等式的恒成立问题解决,即利用“若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0”来求解.【突破训练1】(2020

届河北武邑调研)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R,e

为自然对数的底数).讨论函数f(x)的单调性;若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-ex+x2+x在(2,+∞)上为增函数,求实数m的取值范围.解析【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.当a≤0

时,f'(x)>0,∴f(x)在R

上单调递增.当a>0

时,由f'(x)=0

得x=ln

a,则当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(-∞,ln

a)上单调递减;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(ln

a,+∞)上单调递增.(2)当a=1

时,g(x)=(x-m)(ex-x)-ex+x2+x.∵g(x)在(2,+∞)上为增函数,∴g'(x)=xex-mex+m+1≥0

在(2,+∞)上恒成立,即m≤𝑥e𝑥

+1在(2,+∞)上恒成立.令h(x)=𝑥e𝑥

+1,x∈(2,+∞),则h'(x)=e2𝑥

-𝑥e𝑥

-2e𝑥

=e𝑥

(e𝑥

-𝑥-2).e𝑥

-1

e𝑥

-1

(e𝑥

-1)2

(e𝑥

-1)2令L(x)=ex-x-2,则L'(x)=ex-1>0

在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=ex-x-2

在(2,+∞)上单调递增,∴L(x)>L(2)=e2-4>0,e𝑥

-1∴h'(x)>0

在(2,+∞)上恒成立,即h(x)=𝑥e𝑥

+1在(2,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(2)=2e2+1,