北京西颐实验学校 高三数学理上学期期末试卷含解析

北京西颐实验学校高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的重量的中位数为(

)A．11

B．11.5

C．12

D．12.5

参考答案：C【知识点】用样本估计总体I2由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50由于[10，15]的组中值为12.5，由图可估计样本重量的中位数12.【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．2.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中不正确的是（

）

A．

B．AB//平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角参考答案：D略3.如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：A设

，则，

所以

4.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，且，则

B．若，且，则

C．若，且，则

D．若，且，则参考答案：A5.已知函数则的值为 A.－12

B.20

C.－56

D.56参考答案：A略6.某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（

）

A．19

B．20

C．18

D．21

参考答案：S略7.同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A8.．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36参考答案：C【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题．【分析】：由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故选C．【点评】：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．9.已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A设，联立，化为，直线与圆相交于两点，为坐标原点），，解得，，，，，，解得，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.

10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是_______________．参考答案：略12.设

,则=

．参考答案：13.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为

．参考答案：414.已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为

.参考答案：因为是等比数列，所以，所以。是等差数列。所以。15.有一种电子产品，它可以正常使用的概率为，则它不能正常使用的概率是

。参考答案：

解析：16.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为

．参考答案：试题分析：记正三棱锥为，点在底面内的射影为点，则，在中，，所以.考点：正三棱锥的性质和体积的计算.17.已知数列{an}满足a1=81，an=（k∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的最大值为

．参考答案：127【考点】数列的函数特性．【分析】数列{an}满足a1=81，an=（k∈N*），可得n=2k（k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1；n=2k+1时a2k+1=．因此a2k+1==，a2k=﹣1+a2k﹣2．于是数列{an}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=81，an=（k∈N*），∴n=2k（k∈N*）时，a2k=﹣1+log3a2k﹣1，a2=3；n=2k+1时a2k+1=．∴a2k+1==，a2k=﹣1+a2k﹣2．∴数列{an}的奇数项成等比数列，公比为；偶数项成等差数列，公差为﹣1．∴Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）=+3k+=﹣+≤127．（k=5时取等号）．Sn=S2k﹣1=S2k﹣2+a2k﹣1=﹣++≤111，k=5时取等号．综上可得：数列{an}的前n项和Sn的最大值为127．故答案为：127．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，曲线是以原点O为中心,为焦点的椭圆的一部分.曲线是以原点O为顶点，为焦点的抛物线的一部分,A、B是曲线和的交点且为钝角，若，.（1）求曲线和的方程；（2）设点C、D是曲线所在抛物线上的两点（如图）。设直线OC的斜率为，直线OD的斜率为，且，证明：直线CD过定点，并求该定点的坐标.

参考答案：解:(1）设A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线C1所在椭圆的长轴长为2a，则2a=|AF1|+|AF2|=6…………2分又由已知及圆锥曲线的定义得：…………4分19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合这个要求，并说明原因；（2）若该公司采用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．参考答案：（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：当时，①是定义域上是增函数；

②恒成立；

③恒成立．

3分对于函数模型，当时，是增函数；，∴恒成立；但当时，，即不恒成立．

综上，该函数模型不符合公司要求．

6分（2）对于函数模型，即，

①当，即时，在上是增函数；8分②为使对在恒成立，则，即；10分③为使对在恒成立，则，

即，即对恒成立，12分综上，，又，∴．

14分20.已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足b1＝a1，①求数列{bn}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）an＝2n－1；（2）①bn＝；②存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．

考点：等差数列的通项公式，累加法求通项公式，存在性命题的研究．21.（本小题共13分）已知函数．⑴求的最小正周期；⑵当时，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）因为

=

．

所以的最小正周期．

（Ⅱ）因为，

所以．

所以的取值范围是．

………………13分22.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：（1），故

4分（2）设，若直线与纵轴垂直，

则中有一点与重合，与题意不符，

故可设直线.

5分将其与椭圆方程联