正态分布（四大题型）

7．5正态分布【题型归纳目录】题型一：正态曲线的图象的应用题型二：利用正态分布的对称性求概率题型三：正态分布的实际应用题型四：正态分布标准化【知识点梳理】1、正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；（2）曲线在处达到峰值；（3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．3、正态分布的期望与方差若，则，．4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率（1）；（2）；（3）．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．【典型例题】题型一：正态曲线的图象的应用【方法技巧与总结】利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式．例1．（2023·全国·高二专题练习）设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（

）．A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10【答案】B【解析】因为，所以，即正态总体的平均数与标准差分别为与.故选：B．例2．（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线性质的说法：①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.其中说法正确的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【答案】A【解析】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；故①④⑤说法正确.故选：A.例3．（2023·全国·高二专题练习）下列函数是正态分布密度函数的是（

）A．f(x)=，μ，σ(σ>0)都是实数B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】对照正态分布密度函数：f(x)=(x∈R)，指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数.故选：B变式1．（2023春·全国·高三竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】或，因为，所以或，即或，或或因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC；当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B；故选：D变式2．（多选题）（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知随机变量X的概率密度函数为(，)，且的极大值点为，记，，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，因为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故错误；对于B，因为二次函数在上递增，在上递减，由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得(，)在上递增，在上递减，所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故正确；对于C，因为，，又，所以，即，故正确；对于D，因为，，所以，故正确；故选：BCD变式3．（多选题）（2023春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线关于直线对称B．曲线的峰值为C．越大，曲线越“矮胖”D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1【答案】ACD【解析】对于A，根据正态密度曲线可知，，，故，所以曲线关于直线对称正确；对于B，当时，的峰值为，故不正确；对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.故选：ACD题型二：利用正态分布的对称性求概率【方法技巧与总结】利用正态分布求概率的两个方法（1）对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：①；②．（2）“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．例4．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为随机变量，所以，因为，所以，所以，根据正态分布的对称性，.故选：A例5．（2023·全国·高三专题练习）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，且，则有，即，不等式为：，则，，所以，，A，B，D均不正确，C正确.故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若函数是偶函数，则实数（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为函数是偶函数，所以，即，所以.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X服从正态分布N(1，)，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，因为，故关于对称，故故选：C变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：D.变式6．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量，若，则a的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由正态分布的特征知与关于直线对称，所以，解得.故选：C.题型三：正态分布的实际应用【方法技巧与总结】解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．例7．（2023·山西·校联考模拟预测）2022年河南､陕西､山西､四川､云南､宁夏､青海､内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文､数学､外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试､满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.附：，，.【解析】（1）设事件：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，从物理､历史里选一门，生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门的方案有种等可能情况，事件即从剩余生物学､思想政治､化学三个科目中选择一个有种等可能情况，所以.（2）设此次网络测试的成绩.①由题意可知，因为，且，即，，所以.而，，所以前640名学生成绩的最低分低于，而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）若考生乙所说为真，则，，而，所以，从而.理由1：根据统计学中的原则，即认为为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.理由2：，4000名学生中成绩大于420分的约有人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.例8．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望．附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，，．【解析】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布．（ⅰ）因为，所以．故参赛学生中成绩超过79分的学生数为．（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为．所以随机变量服从二项分布，所以，，，．所以随机变量的分布列为：0123P均值．例9．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(2)可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为，的近似值），已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？(3)从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.参考数据：若，则.【解析】（1）由频率分布直方图可知，平均分；（2）由（1）可知，,设学校期望的平均分约为，则，因为，，所以，即，所以学校的平均分约为72分；（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，分数在应抽取人，记事件：抽测份试卷，事件取出的试卷都不低于90分，则,，，则.变式7．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？【解析】（1）因为，所以,所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为，如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.（2）次品的概率为，抽取100个零件进一步检测，设次品数为,则，其中，故，设次品数最可能是件，则，即，即，解得.因为，所以，故.故这100个零件中的次品数最可能是0.变式8．（2023秋·安徽·高三校联考期末）某课题组开展“皖东地区中学体育现状教学调查与发展对策研究”，以皖东地区2市2区4县285所中学为研究对象，其中县城高中22所，县城初中9所，农村高中29所，农村初中225所．旨在增强“全民健身”理念、增强中学生身体素质与优化中学体育教学管理．课题组从“体育管理、体育师资、体育科研、《体育与健康》课程教学、课外体育、体育场地设施”这六个方面进行赋分，并制作了调查问卷（满分共100分），分发问卷并整理相关数据，从问卷中随机抽取200份，按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中县城高中占．(1)估计抽取的200份问卷的数据平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照县城高中和非县城高中两类随机抽取7份问卷，再从中选取3份问卷作进一步调研，设这3份问卷中包含县城高中问卷数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据教育部发布《<体育与键康>教学改革指导纲要》精神，指导全国中小学体育教师科学、规范、高质量地上好体育课，更好地帮助学生在体育锻炼中“享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，促进青少年学生身心健康全面发展具有积极指导作用．根据相关数据，体育教学综合质量指标服从正态分布（用样本平均数和方差作为，的近似值且取整数），若某市有65所中学学校，试估计该市中学学校体有教学综合质量指标在内的学校数量．（结果保留整数）参考数据：若随机变量，则，，可能用到的数据：．【解析】（1）由题意得，估计抽取的200份问卷的数据平均值．（2）由于第五组总抽取7份问卷，县城高中占，所以抽到的县城高中问卷有份，非县城高中问卷共4份，再从中抽3份问卷中包含县城高中问卷数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，，故其分布列为：X0123P所以得到随机变量X的数学期望．（3）因为，所以，．则，所以估计该市中学学校体育教学综合质量指标在内的学校数量约为53所.题型四：标准正态分布例10．（2023·全国·高二期末）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（i）利用直方图得到的正态分布，求；（ii）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0．001），以及Z的数学期望（结果精确到0．01）．参考数据：，，，，．若，则，，．【解析】（1），．（2）（i）由题意并结合（1）可知，，，∴，∴．（ii）由（ⅰ）可知，，∴，∴，．例11．（2023·全国·模拟预测）2019年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试．某学校在九年级上学期开始，就为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图．（1）规定学生1分钟跳绳个数大于等于185为优秀．若在抽取的100名学生中，女生共有50人，男生1分钟跳绳个数大于等于185的有28人．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．（2）根据往年经验，该校九年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步．假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比九年级上学期开始时增加10个，全年级恰有2000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数X服从正态分布，用样本数据的平均值和标准差估计和，各组数据用中点值代替，估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数（结果四舍五入到整数）．附：，其中．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828若随机变量X服从正态分布，则，，．．【解析】（1）由频率分布直方图得样本中1分钟跳绳个数大于等于185的人数为．补充完整的2×2列联表如下表所示：由公式可得．因为，所以没有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关．（2）由题知，训练后学生1分钟平均跳绳数比训练前学生1分钟平均跳绳数大10，方差不变．由直方图计算可得训练前学生1分钟跳绳数的平均数为：，所以．训练前学生1分钟跳绳数的方差为：所以故X服从正态分布．，．故估计正式测试时1分钟跳绳个数大于183的人数约为1683．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字（位于第三行），然后在表的最上行找到数字（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字便是的值．，0.7157'①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于，则至少需要添加多少个座位？【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，则，，（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，故可以认为随机变量X服从二项分布，由（1）可得，，可得，则，则，由标准正态分布性质可得，，故，故，在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；②查表可得，，则，即，又，故座位数至少要1016个，，故阅览室座位至少需要添加22个．变式9．（2023·全国·高二专题练习）为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为）.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.【解析】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：（分）.（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.②，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．【同步练习】一、单选题1．（2023·江苏南京·高三校考期末）在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（

）A．4772 B．6826 C．3413 D．9544【答案】B【解析】由题意，曲线为正态分布的密度曲线，可得，所以落入阴影部分点的个数的估计值为.故选：B.2．（2023·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（

）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）A．17 B．23 C．34 D．46【答案】B【解析】若随机变量服从正态分布，则，.因为这1000户中用电量在320度以上的居民户数估计约为，即在这1000户中，用电量在320度以上的用户数约为23.故选：B.3．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）下列说法正确的是（

）①若随机变量的概率分布列为，则；②若随机变量，，则；③若随机变量，则；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】D【解析】对于A，∴随机变量的概率分布为，∴，∴，∴，故①不正确；对于B，，∴，故②正确；对于C，由，得，故③正确；对于D，由题意，得，故④正确.故选:D.4．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差．已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（

）A．34 B．36 C．38 D．40【答案】C【解析】因为，且.根据正态分布的对称性，则有，所以.故100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数为．故选：C．5．（2023·山东潍坊·统考一模）某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（

）A．25 B．50 C．75 D．100【答案】B【解析】由已知可得，，所以.又，根据正态分布的对称性可得，所以.所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为.故选：B.6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得，，则.故选:D7．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．故选：D.8．（2023·辽宁阜新·高二校考期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为（

）（注：若，，，）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，，可得净重在179g与之间的概率为由正态分布的对称性可知，；所以净重在179g与之间的概率为.故选：A.二、多选题9．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知随机变量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由题意可知，，则选项A正确；，则选项B错误；，则选项C正确；，则选项D错误.故选：AC10．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（

）A．该校学生成绩的期望为B．该校学生成绩的标准差为C．该校学生成绩的标准差为D．该校学生成绩及格率超过【答案】ABD【解析】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，，.所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.11．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，其方差，随机变量服从正态分布，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因为随机变量服从二项分布，且其方差，所以，解得，故A正确；所以，又，所以，所以B正确，C错误；所以，则正态曲线关于对称，因为，所以，故D错误.故选：AB12．（2023·广东深圳·高三统考期末）已知随机变量，函数，则A．当时，取得最大值B．曲线关于直线对称C．轴是曲线的渐近线D．曲线与轴之间的面积小于1【答案】ABC【解析】因为随机变量，函数，所以的对称轴为，且当时，取最大值为，故A，B正确；根据正态分布的曲线可得，轴是渐近线，且曲线与轴之间的面积等于1，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题13．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量，且，则___________【答案】【解析】因为随机变量服从正态分布，且，所以，故答案为：.14．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知随机变量，，且，，则_________.【答案】【解析】因为随机变量，所以，，且，所以，所以，解得：.故答案为：15．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知随机变量，且，，则______.【答案】【解析】由题意知，所以，所以.故答案为：0.15.16．（2023·全国·高三专题练习）在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.【答案】1500【解析】因为考试的成绩服从正态分布，根据，，则，得，即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．故答案为：1500.四、解答题17．（2023·辽宁辽阳·高二校联考期末）一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求或的概率；(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率.【解析】（1）因为零件尺寸z服从正态分布，所以，因为，所以.故或的概率为.（2）依题意可得，所以.18．（2023·全国·高三专题练习）为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：组别频数(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：话费金额/元如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.（i）求时的概率；（ii）证明：.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【解析】（1）这人的平均成绩为，所以近似等于，故；（2）（i）当时，次抽取话费的金额情况是有两次抽到元，一次抽到元，因为每次抽取是相互独立的，所以，（ii）证明：由题意知的所有可能取值为，，，，，，，，，，则，又，，，，由（1）知，，所以，又，所以，即，所以.19．（2023·全国·高三专题练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值；(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；(3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望.附；若，则，，【解析】（1）由频率分布直方图可知，∵质量超过505克的产品的频率为，∴质量超过505克的产品数量为（件）样本平均值或者样本平均值或者样本平均值（2）由题意可得，则，则该批产品质量指标值的概率：或者（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布.故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且∴，∴，，，∴的分布列为012的均值为或者20．（2023春·陕西延安·高二校考期末）某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，