新人教A版必修一4.5.1函数的零点与方程的解课件（45张）

4.5函数的应用(二)函数的零点与方程的解

1.函数的零点(1)函数f(x)的零点是使f(x)=0的实数x.(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.【思考】(1)函数的零点是点吗?提示:不是,是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0的根.(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=0根的个数有什么关系?提示:相等.

2.函数的零点存在定理(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,f(a)f(b)<0;(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,即存在c∈(a,b)使f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.【思考】(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)<0时,能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数?提示:只能判断有无零点,不能判断零点的个数.(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)f(b)<0?提示:不一定,如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=2x-1的零点是 (

)(2)函数f(x)=x2+x+1有零点. (

)(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)>0,则在区间(a,b)上一定没有零点. (

)提示:(1)×.函数y=2x-1的零点是.(2)×.因为方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0无根,所以函数没有零点.(3)×.如f(x)=x2在区间(-1,1)上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在区间(-1,1)上有零点0.2.下列图象表示的函数中没有零点的是 (

)【解析】选A.B,C,D的图象均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图象与x轴没有交点,故函数没有零点.3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是______.

【解析】方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是,1.答案:,1类型一函数零点的概念及求法【典例】1.若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列命题中正确的是 (

)A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(1,8)内无零点D.函数f(x)在区间[2,8)内无零点【思维·引】1.根据零点的个数、区间关系判断.2.转化为求方程f(x)=0的根.【解析】1.选D.因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,所以函数f(x)在区间[2,8)内无零点.2.因为f(x)=(x+1)(x2-16x+39)=(x+1)(x-3)(x-13),由f(x)=0,得x=-1或x=3或x=13.答案:-1,3,13【类题·通】函数零点的求法(1)求函数的零点即求方程f(x)=0的根,求根时要涉及一元一次、二次方程,分式方程的解法,有时还需要利用指、对互化解与指数、对数相关的方程.(2)在选择题中,也可以利用代入验证的方法求零点.【习练·破】1.函数f(x)=lnx+的零点为 (

)

B.

D.【解析】选A.依次检验,使f(x)=0的即为零点.2.函数y=3x-2的零点是______.

【解析】令3x-2=0,则3x=2,所以x=log32.答案:log32【加练·固】函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.

【解析】因为函数f(x)=ax+b有一个零点是2,所以2a+b=0,即b=-2a,所以g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),因为-ax(2x+1)=0,所以x=0,x=-所以函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-答案:0,-类型二图象法确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=ln(x+1)-在定义域内的零点个数为 (

)

【思维·引】1.令f(x)=0,移项后转化为两个初等函数,利用图象的交点个数判断.2.先确定函数,再分类讨论求a的取值范围.【解析】1.选C.函数f(x)=ln(x+1)-在定义域{x|x>-1且x≠0}内的零点个数,即为f(x)=0,即求y=ln(x+1)和y=的图象交点个数,作出y=ln(x+1)和y=的图象,可得有两个交点.2.函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当0<a<1时,两函数图象有一个交点.故a>1.答案:(1,+∞)【内化·悟】在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数?提示:转化为两个函数的图象的交点问题,几个交点就有几个零点.【类题·通】利用函数的图象判断零点个数(1)原理:函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个函数,作图观察交点个数.(2)关键:拆分成的两个函数应方便作图.【习练·破】1.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)+x-3的零点个数为 (

)

【解析】选B.令g(x)=0,得:f(x)=-x+3,画出函数f(x)和y=-x+3的图象,如图所示:函数g(x)的零点个数即f(x)和y=-x+3的交点个数,结合图象有2个交点,故函数g(x)有2个零点.2.已知函数f(x)=,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则m的取值范围为 (

)A.m<1 B.m>1C.0<m<1 D.m>0【解析】选C.函数f(x)=的图象如图所示,由图可得:当0<m<1时,函数f(x)=的图象与直线y=m有两个交点,即函数y=f(x)-m有两个不同的零点.【加练·固】函数f(x)=-|lnx|的解的个数为________.

【解析】方程-|lnx|=0的解的个数即为函数y=

与y=|lnx|的图象交点的个数,在同一坐标系中画出函数y=与y=|lnx|的图象如图所示:由图可得函数y=与y=|lnx|的图象有2个交点,故方程=|lnx|的解有2个.答案:2【习练·破】方程=-log2x的根所在的区间是 (

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.不确定【解析】选A.函数f(x)=+log2x在(0,+∞)上是连续单调增函数,因为f(1)=>0,f(0)→-∞,所以f(x)=+log2x的零点所在的区间为(0,1).【加练·固】函数f(x