数学人教八年级上册（2013年新编）12-3-2 角的平分线的判定（当堂达标）

12.3.2角的平分线的判定夯实基础篇一、单选题：1．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在，上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，交边于点D，则下列结论错误的是（）A．平分 B．C．垂直平分 D．【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：如图.由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，∴BP平分∠ABC，∵AB=BC，∴AD=DC，BD⊥AC，即BD垂直平分AC，故A、B、C三个选项正确，不符合题意；只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，故选项D错误，符合题意.故答案为：D.【分析】由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，根据角平分线的判定可得BP平分∠ABC，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD=DC，BD垂直AC，据此判断即可.2．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.则对点P位置的判断，正确的是（）A．P为∠A、∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定【解析】【解答】解：P到∠A的两边的距离相等，P在∠A的角平分线上，PA=PB，P在线段AB的垂直平分线上，故P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，故答案为：B.【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定进行解答即可.3．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠CDA=90°-20°=70°，∵，∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．故答案为：D．

【分析】根据角平分线的判定得出AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD=∠BAC=20°，从而求出∠CDA=70°，利用∠CDG=∠ADG-∠CDA，即可求解.4．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为()A．60° B．62° C．64° D．66°【答案】D【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的判定【解析】【解答】∵∠B=42°，AD⊥BC，∴∠BAD=48°，∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠BAE=∠DAE=24°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，故答案为：D【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD=48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE平分∠BAD，根据角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE=24°，根据三角形的外角定理即可算出答案。5．如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵∠A=∠BDC=90°，又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，故答案为：A.【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，根据三角形内角和定理以及角平分线的概念可得BD是∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质得到AD＝DH=3，确定出DP的最小值，据此判断即可.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【答案】C【知识点】三角形的面积；角平分线的判定【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴DE=CD，

∵S△ABD＝AB×DE=25，

∴DE=2.5，

∴CD=DE=2.5.

故答案为：C.

【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.二、填空题：7．如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB=.【答案】60°【知识点】角平分线的判定【解析】【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠AOB=60°，故答案为：60°.【分析】根据到角两边距离相等的点在该角的角平分线上即可得出∠AOC=∠BOC=30°，从而即可算出答案.8．如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1=°.【答案】33【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠1，∵∠2=57°，∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°.故答案为：33.【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得AC平分∠BAD，进而可得∠CAD=∠1，根据直角三角形两锐角互余得出∠2+∠CAD=90°，然后问题可求解.9．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝．【答案】100°【知识点】角平分线的判定【解析】【解答】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．

【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得BD平分∠ABC，从而得出∠ABC=2∠DBC，即可求解.10．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有个.【答案】4【知识点】角平分线的判定【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.故答案为4.【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解.11．在正方形网格中，的位置如图所示，点，，，是四个格点，则这四个格点中到两边距离相等的点是点.【答案】M【知识点】角平分线的判定【解析】【解答】解：∵点M在的平分线上∴点M到两边距离相等故答案为：M.【分析】到两边距离相等的点在的平分线上，由此可确定答案.12．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小=（度）．【答案】10【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC=∠ADB-∠ACB，∠DBC=20°，∴，∴10°=，∵∠DEC=∠ADE-∠ACE=，∴∠DEC=10°，故答案为：10.【分析】延长CB到F，由∠ABC=100°、∠CBD=20°，可得∠ABF=80°、∠ABD=80°，故AB平分∠FBD，由知CE平分∠ACB，根据角平分线的性质可知点E到BF、BD、AC的距离相等，从而根据角平分线的判定又得DE平分∠ADB，据此利用三角形外角性质即可求解。三、解答题：13．已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．【答案】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中BD=CDBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定【解析】【分析】利用“HL”证出，得DE=DF，再利用角平分线的判定即可。14．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．【答案】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF·DM，△DCE的面积为：DN·CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF·DM＝DN·CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【知识点】角平分线的判定【解析】【分析】过D作DN⊥AC，DM⊥AB，利用三角形的面积公式即可得到BF·DM＝DN·CE，即可得到DM＝DN，再根据角平分线的判定求解即可。15．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．【答案】证明：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，∵点P为和的平分线的交点，∴，，∴，∴点P在的平分线上．【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【分析】要证明点P在∠ACN的平分线上，只需要证明点P到AC与CN的距离相等即可，可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可。16．如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB【答案】证明：过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M.∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∵AN⊥BC，AM⊥CD∴∠ANB=∠AMD=90°又∵AB=AD∴△ABN≌△ADM∴AN=AM∴点A在∠BCD的平分线上，即CA平分∠BCD.【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M，由垂直的定义得∠ANB=∠AMD=90°，根据同角的补角相等得出∠1=∠3，进而利用AAS判断出△ABN≌△ADM，根据全等三角形的对应边相等得出AN=AM，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论.能力提升篇一、单选题：1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点O，连接CO，则有（）A．≌ B．C．CO平分 D．【答案】C【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：过O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴OF=OH，OF=OG，∴OG=OH，∴CO平分∠ACB．故答案为：C【分析】过O作OF⊥AB于、OG⊥BC于G、OH⊥AC于H，根据角平分线的性质和判定，逐个判断即可。2．如图，，M是的中点，平分，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】平行线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故答案为：B.【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．3．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ=FW，同理FW=FY，∴FZ=FY．∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ=∠FCY，∵∠AFB=40°，∴∠ACB=80°，∴∠ZCY=100°，∴∠BCF=50°．故答案为：B．【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.4．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴CP平分∠ACF，故①符合题意；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，故答案为：D．【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN

（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.二、填空题：5．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为.【答案】130°【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定【解析】【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°.故答案为：130°.【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.6．在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是．【答案】10°【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠DBA=80°，∠PBA=80°，∴∠DBA=∠PBA，∴BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，∴EF=EH，同理，EG=EH，∴EF=EG，又∵EF⊥AC，EG⊥BD，∴DE平分∠BDA，∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，∴∠ADE=∠ADB=20°，∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．故答案为：10°．【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。7．如图，于E，于F，若，，则下列结论：；平分；；中正确的是．【答案】【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定【解析】【解答】在和中，，，故正确；又，，平分，故正确；在和中，，，，，即，故正确；＜由垂线段最短可得，故错误，综上所述，正确的是，故答案为：【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≅Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AD平分∠BAC，然后再利用HL判断出Rt△ADF≅Rt△ADF，根据全等三角形对应边相等得出AE=AF，根据线段的和差及等量代换得出AC−AB=2BE，由垂线段最短可得AE<AD，从而得出答案。三、解答题：8．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵,∴△BDE≌△C