直线与椭圆的位置关系 名师获奖

直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？d>rd<rd=r∆>0∆<0∆=0几何法：代数法：问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。例1：已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。x2+4y2=2解：联立方程组消去y∆>0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？弦长公式：则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）1、直线与圆相交的弦长A（x1,y1）小结：直线与二次曲线相交弦长的求法dr2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式:|AB|=k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得x1+x2与y1+y2通法B（x2,y2）=设而不求1、求椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长。通径2、中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆方程。练习椭圆的两个焦点为F1、F2

，过左焦点作直线与椭圆交于A，B两点，若△

AB

F2

的面积为20，求直线的方程。例2变题：假如直线是过原点，其它条件不变，求直线的方程。xyB（x1,y1）F1F2o（x2,y2）A3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（2）弦长公式：

|AB|=

=（适用于任何曲线）

小结若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆方程。例3OA⊥OB变式例4：已知椭圆，过点P（2，1）作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线的方程。例5（2006浙江）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．e=(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：∠ATM=∠AFT．ABFFMTOyx例6（2007年浙江高考题）如图，直线与椭圆交于A，B两点，记△AOB的面积为S（1）求在k=0,0<b<1的条件下，S的最大值；（2）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程.例5：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P，Q，且，求椭圆的方程。例7：已知椭圆C：，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称。例6：(2007年山东高考题）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1

（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A、B不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）3、过椭圆x2-2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,通径长是_______