第五章-套利定价理论(APT)资料课件

5.1单因子模型定义5.1

因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。因子模型的特点：第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因子；第二，在构造的因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关（一起运动仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的）；第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关。2023/7/21下表反映了公司i的股票收益率和国内生产总值（ＧＤＰ）的增长率（简记为因子Ｇ）和通货膨胀率（简记为因子I）６年的统计情况。年度ＧＩ１5.7%1.1%14.3%26.44.419.237.94.423.447.04.615.655.16.19.262.93.113.02023/7/21先考虑一个宏观经济指标（Ｇ）对公司i的股票收益率的影响，即研究Ｇ与公司i的股票收益率的关系。由一元线性回归可得如下方程：其中是随机变量，是由回归确定的系数。且，，，并有2023/7/21现在我们来看公司i的股票的收益率的方差。因为，所以可以导出如果经统计测算出G增长率的方差是，非系统风险的方差是，则可算出股票收益率的方差为

定义5.2

我们称上式中的为因子风险；为非因子风险2023/7/21再来看协方差。如果另外有一家公司j的股票，根据其业绩表现统计测算出它的。股票i和股票j的收益率的协方差可以容易地算出所以有

结论：大大地减少了计算的工作量。因为如果组合里n项资产，计算组合的方差－协方差矩阵需要进行次方差－协方差的测算，但现在只需要n个和１个就可以了。2023/7/215.2市场模型若用有风险资产的市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数。于是因为上述关系对于证券组合也一样成立，如果就代表有风险市场组合本身，那么回归结果一定会有，资本资产定价模型实际上就是一种特殊的单因子模型。2023/7/21任何证券i的风险补偿和有风险市场组合的风险补偿之间协方差就应该是从而于是我们得到多出的一个是证券的收益超出由资本资产定价模型给出的市场均衡收益率的部分。显然，如果处于均衡状态，对所有的资产来说，都应该有2023/7/21１）Ａ点和有风险市场组合Ｍ点生成的双曲线不会在Ｍ点与资本市场线相切。因为如果相切的话，将会导出Ａ点会落在证券市场线上的结论。

２）Ａ点也一定不会落在有效组合边界上。否则，由两基金分离定理知Ａ点和Ｍ点生成的连线就是有效组合边界，这就与第１点不符。如果在市场上有一个共同基金Ａ，它的运作水平使将会出现什么情况呢？例如，现在市场的无风险利率是6%，有风险市场组合的风险补偿是8%，基金组合Ａ的值是0.5，。这时Ａ点会落在证券市场线的上面。可断言：2023/7/21此时，优化地组合Ａ点和Ｍ点得到的新组合就会落到资本市场线的上面。将这个新的组合再与无风险证券组合，就能得到比市场的均衡更好的效益。因此，如果能找到具有正的的投资组合，就能够击败市场。

事实上，如果对组合Ａ容许卖空的话，只要就可以设计出击败市场的投资策略。此类投资策略要成立，意味着市场在某些方面存在着缺陷而导致失衡。2023/7/21资本市场线资本市场线新资本市场线2023/7/21在市场实践中，表示有风险市场组合的宏观经济指数就是证券市场的价格指数。采用指数来代替有风险市场组合，通过统计方法测算出指数的统计特征，就可以大大简化计算工作量。因此，指数化的投资策略提供了实际可行的途径。并且，证券市场的价格指数也就成为有风险资产估值和定价的基础，同时也是设计投资策略的强有力的工具。2023/7/215.3多因子模型利用多元线性回归分析的知识和前面的例子，把G和I的影响都考虑在内，得到线性回归后可算出，用第六年的实际数据代入，可算得公司的预期收益的风险补偿是10%。则企业非系统性因子所产生的影响是３％。此时公司收益率的方差为2023/7/21问题的一般化设2023/7/215.4单因子的套利定价理论一、套利理论提出的背景

CAPM刻画了在资本市场达到均衡时资产收益的决定机制。但它基于众多的假设，其中的一些假设与现实不相吻合，而且检验CAPM时，难以得到真正的市场组合，致使CAPM不易被检验；更重要的是，一些经验结果与CAPM相悖。StephenRoss在1976年提出了一种新的资本资产均衡理论即套利定价理论（APT)。由于该理论认为风险可由几个因子产生，而不象CAPM那样基于一个风险因子，这与许多经验结果相吻合。并且CAPM是APT的一个特例。APT的假定又大大少于CAPM的假定，市场组合在APT中不起作用，致使APT比CAPM容易检查。因此APT成为CAPM的一个较好的替代理论。2023/7/21二、套利机会

如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利机会。任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会！

2023/7/21无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法，其关键技术是组合复制技术。上述概念说明复制可以从正反两个方向来做：复制未来的现金流，同时检查目前是否有价格失衡的套利机会；也可以是现在的价格相等，复制未来在任何情况下都产生更为有利的现金流，或者未来在任何情况下都产生更为不利的现金流。无论是都有利还是都不利都会产生套利机会，但必须是在任何情况下都有利或都不利。2023/7/21单因子的套利定价模型中先有这样的关系其中是随机变量，是第项金融工具的实际实现的收益率，是宏观经济因子的实际值，，是企业所特有原因对所发行的金融工具的收益所造成的扰动，且，是第项金融工具的收益率对宏观经济因子的敏感度。三、单因子的套利定价理论2023/7/21现在看一个非系统风险被充分分散化掉的投资组合Ｐ。在这个组合里，项金融工具的权重为于是组合的收益率为其中组合的方差为其中2023/7/21为了分析简单起见，假定组合中各项金融工具的权重相等，即有。于是有

即增加分散化能缩减总风险。导致这个结果的原因在于，增加证券组合中证券的种类时，证券组合的市场风险（因子风险）近似保持不变，而证券组合的非因子风险却显著减小。

2023/7/21因此，对于一个充分分散化的投资组合P来说，其收益率和方差为从而得到单因子模型的重要性质：1、有关证券组合边界的计算量大大减少；2、分散化导致因子风险的平均化；3、分散化缩小非因子风险。

2023/7/21如果有两个充分分散化的投资组合Ａ和Ｂ，若就必定有，否则要出现套利机会。例如，若我们卖空价值100万元的组合Ｂ，同时将这卖空所得的100万元投资于组合Ａ，就能套取2万元的无风险利润。算式如下：到期Ａ多头的收益到期Ｂ空头的支付净利润2023/7/21但对于有不同值的充分分散化的投资组合，其预期收益率中风险补偿必须正比于值，不然也将发生无风险套利。结论：如果两个充分分散化的投资组合有相同的值，它们在市场中必定有相同的预期收益。与宏观因子有关的值风险补偿1.00.5ADC10762023/7/21若把有风险市场组合看作一个充分分散化的投资组合，再以有风险市场组合的未预期到的收益变化作为系统风险的度量。有风险市场组合的值当然为１，因为产生系统风险的因子就是它本身。代表有风险市场组合的值()和预期收益率之间的关系的点也落在图中的直线上，于是对任意充分分散化的投资组合，其预期收益率和值的关系就可表示成2023/7/21对单个证券来说，套利定价理论要告诉我们的是：对于组合中的任意两项不同的证券来说，同样的关系式几乎也成立。即对任两项不同的金融工具和，有此处Ｋ是对几乎所有的证券都一样的一个常数。从而对于任意组合中的金融工具，有2023/7/21所以对任何充分分散化的投资组合，就一定有亦即有对所有充分分散化的投资组合来说，Ｋ都是相同的。2023/7/215.5多因子的套利定价理论再来讨论二因子的套利定价模型，然后推广到一般的情况。两个宏观因子的模型如下：其中是随机变量，是第项金融工具的实际实现的收益率，是宏观经济因子的实际值，是企业所特有原因对所发行的金融工具的收益所造成的扰动，是第项金融工具的收益率对第个宏观经济因子的敏感度。且，，2023/7/21由证券组合的定义则2023/7/21其中多因子模型具有和单因子模型一样的重要性质：1、有关证券组合边界的计算量大大减少；2、分散化导致因子风险的平均化；3、分散化缩小非因子风险。

2023/7/21比如有因子组合１和２，前者的预期收益率为后者的预期收益率为。设无风险利率为，则因子组合１的风险补偿为，因子组合２的风险补偿为8%先引入因子组合的概念。因子组合是非系统风险已经充分分散化而消除掉的组合，对其中一个因子的值为１而对其它的值为０。这种因子组合的构造在实际中是可行的，因为有价证券的种类很多而因子的数量又非常有限。多因子证券市场线中，因子组合将起到基准的作用。2023/7/21对任一个充分分散化的投资组合Ａ，它对两个宏观因子的值分别为和。多因子的套利定价理论指出，投资组合Ａ的总风险补偿应当是投资者承受这两种宏观因子的系统风险所应得到的风险补偿之和。而每种宏观因子的系统风险补偿等于相对于该因子的值乘以相应因子组合的风险补偿，即于是，投资组合Ａ的预期收益率就是无风险收益率加上总的风险补偿为13%2023/7/21如果投资组合Ａ的预期收益率不等于13%，例如是12%，则可以构筑如下的组合头寸：取权重为50%的因子组合１，权重为75%的因子组合２，再加上权重为-25%的无风险证券，构成一个新的组合，这个组合的预期收益率为0.5x10%+0.75x12%-0.25x4%=13%。同时构筑这个组合的多头和组合Ａ的空头，就能套取无风险利润。算式如下：这是零投资组合能套取无风险利润的情形。到期套利组合多头的收益到期组合Ａ空头的支付净利润1%2023/7/21从这个简单的例子可以发现，套利组合是这样构筑的：对于任意一个暴露在和这两个宏观因子的系统风险下的投资组合Ｐ，分别以其值、为权重选取因子组合１和２，再加上权重为的无风险证券。这一组合实际上复制了组合Ｐ，所以组合Ｐ可由此套利组合给出定价2023/7/21再推广到一般的情况：先推广到单个证券的情况：2023/7/215.6APT的理论推导假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分假设2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。假设3：所有投资者有相同的预期：任何证券i的回报率满足k因子模型：

2023/7/21假设5：市场上的证券的种类远远大于因子的数目k。假设4：定义5.3

如果一个证券组合满足下列三个条件：1、初始价格为零；2、对因子的敏感度为零；3、期望回报率为正。我们称这种证券组合为套利证券组合。

2023/7/21若证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零。我们用数学式子表示为我们选择证券组合（ω1，ω2，…，ωn

），使得其成本为零，即（5.1）该证券组合的回报率为2023/7/21为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：（1）所选的每个权ωi充分小；（2）所包括的证券种类尽量多；（3）对每个因子而言，所选的权使得证券组合的因子敏感度为零。

2023/7/21用数学式子表示，这些条件是（1）ωi≈1／n（2）n是一个很大的数（3）对每个因子而言，从而（5.2）2023/7/21

在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此，满足上述条件的组合，其回报率一定为零，即（5.3）2023/7/21将（5.1）、（5.2）、（5.3）的内容用数学语言加以描述如下：如果成立2023/7/21则一定有由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合，即存在k+1个常数，使得（5.4）2023/7/21Farkas引理设A为m×n矩阵，c为n维向量，则有解的充要条件是无解如果存在无风险证券，其回报率为，显然假设是对第j个因子有单位敏感度但对其他的因子敏感度为零的证券组合的期望回报率，则由（5.4）有即APT可以表示为2023/7/215.7APT与CAPM的区别和联系无套利机会的市场均衡与收益/风险权衡关系的市场均衡二者的区别在于：收益/风险权衡关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多投资者调整自己的投资组合来重建市场均衡，但每位投资者只对自己的头寸做有限范围的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一位套利者都会尽可能大地构筑逃离头寸。因此从理论上讲，只需要少数几位（甚至在理论上只需一位）套利者就可以重建市场均衡。因此无套利均衡分析比收益/风险权衡的均衡分析要强得多。收益/风险权衡分析只是经济学中供需分析的一个例子，而无套利均衡分析则是现代金融学特有的研究分析方法。2023/7/215.8三种模型的比较

一、CAPM和单指数模型在本质上是一样的。但CAPM要求有一个有风险市场组合，而单指数模型是利用一个在实际中与理论的有风险市场组合完全正相关的综合指数来代替实际不存在的有风险市场组合，故在实际的投资策略的制定中，单指数模型是有真正的实用价值；二、APT强调的是无套利原则。它的出发点是排除无风险套利机会，少数投资者会构筑大额的套利头寸产生巨大的市场压力来重建均衡，它的成立只需要有充分分散化的投资组合，不象单指数模型一定要有对有风险市场组合有替代作用的市场指数；2023/7/21

三、CAPM则是典型的收益／风险权衡所主导的市场均衡，是许多投资者的行为共同作用的结果；它的成立依赖许多严格的假设条件；四、APT的定价并不是对所有的证券都成立的，由于它只强调无套利原则，而且这种无套利均衡定价是通过对充分分散化的投资组合的分析得出的，所以对有的单项资产其定价结论不成立，故实践中APT主要对组合投资决策起支持作用；2023/7/21

五、单项资产在市场上定价失衡时，在CAPM的条件下，所有的投资者都会同时调整自己的头寸来重建均衡。因此对单项资产的定价，CAPM和单指数模型则有更广泛的应用，从而CAPM的那些有关市场的条件也是我们必须加以考虑的；六、CAPM是APT的特例，因为CAPM是单因子的，一般所指的APT是多因子的。实质上，CAPM也有多因子的推广结果。2023/7/21另外，在使用APT时，还有一个对宏观因子的识别问题。不同的研究使用了不同的宏观经济指标。但归纳起来大致有以下三大类：一是总量经济活动参数，如ＧＤＰ或ＧＮＰ的增长率、工业产出、总销售额等；二是通货膨胀率；三是与市场利率有关的参数如利率差或利率本身等。2023/7/21因素的具体选择