数学人教八年级上册（2013年新编）13-1-1 轴对称（当堂达标）

13.1.1轴对称夯实基础篇一、单选题：1．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列图形中，与关于直线成轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】认真观察各选项给出的图形，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线进行判断．【详解】解：根据轴对称的性质，结合四个选项，只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分，所以B是符合要求的．故选：B．【点睛】本题考查轴对称的性质；应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解题的关键．3．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为(

)A．10° B．14° C．38° D．52°【答案】B【分析】在中，根据点与点关于直线对称，得到∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，又根据三角形的外角的性质得到∠A+∠ACD=∠CDE，即可求得∠ACD的度数．【详解】解：中，点与点关于直线对称，所以∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，∵∠A+∠ACD=∠CDE，∴∠ACD=∠CDE-∠A=52°-38°=14°，故答案为：B【点睛】本题考查了轴对称的性质，以及三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟悉并掌握以上性质是解题关键．4．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D选项正确，不一定成立，故B选项错误，所以，不一定正确的是B．故选：B．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．5．如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（

）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】D【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．6．如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．【详解】如图，由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故选C．【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键．二、填空题：7．如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)．【答案】①②##②①【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴，由此即可判断图形的对称轴条数及位置．【详解】图标中，是轴对称图形的有①②③，其中只有2条对称轴的是①②，有4条对称轴的是③。故答案为：①②．【点睛】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数的灵活应用，这里要求学生熟记已学过的特殊图形的对称轴特点进行解答．8．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是________．（填序号）【答案】①②③⑤【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP，∴①②③⑤正确，而④错误．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．9．如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为___．【答案】5【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴S△CEF=S△BEF，∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5，故答案为：5；【点睛】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．10．如图，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为____．【答案】10【分析】根据轴对称图形的性质即可求得．【详解】解：∵△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，∴AD=DB，AC=BC=9，∵AE=7，AC=9，BC=12，∴△DBE的周长=BD+DE+BE=AD+DE+EC﹣AC=AE+EC﹣AC=7+12﹣9=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键．11．如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是小方格的顶点）．若格点△ACP与△ABC全等（不与△ABC重合），则所有满足条件的点P有_____个．【答案】3【分析】如图，把沿直线对折可得：把沿直线对折，从而可得答案.【详解】解：如图，把沿直线对折可得：把沿直线对折可得：所以符合条件的点有3个，故答案为：3【点睛】本题考查的轴对称的性质，全等三角形的概念，掌握“利用轴对称的性质确定全等三角形”是解本题的关键.12．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为______．【答案】【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．三、解答题：13．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．【答案】第3个图形不是轴对称图形，其余都是．画出对称轴见解析．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可；是轴对称图形的画出对称轴即可．【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：第3个图形不是轴对称图形，其余都是；如图：【点睛】本题考查了轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．14．如图，∠A=90°，点E为BC上一点，点A与点E关于BD对称，点B与点C关于DE对称，求∠C的度数．【答案】30°【分析】借助轴对称的性质，A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，B点、C点关于DE对称，可得∠DBE=∠C，结合上式可得：∠ABC=2∠C，且∠ABC+∠C=90°，进而求得∠C的值．【详解】解：∵A点和E点关于BD对称，∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，又B点、C点关于DE对称，∴∠DBE=∠C，∴∠ABC=2∠C，∵∠A=90°，∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°，∴∠C=30°．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．如图，在中，直线分别交、于点、，点关于直线的对称点在边上，且．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．【答案】（1）12；（2）28°【分析】（1）由对称性可知，即，则的周长为；（2）由（1）可知，由三角形外角的性质得到，由此求解即可．【详解】解：（1）∵点关于直线的对称点在边上，，即，的周长为；（2）由（1）知，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．(1)图中点C的对应点是点，∠B的对应角是；(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为；(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【答案】(1)E，∠D(2)3(3)∠EAF＝39°【分析】（1）根据△ABC和△ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；故答案为：E，∠D．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∵BF＝2，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性．能力提升篇一、单选题：1．如图，正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使PA＋PB的值最小，则点P应选在（

）A．C点 B．D点 C．E点 D．F点【答案】C【分析】取A点关于直线a的对称点G，连接BG与直线a交于点E，点E即为所求．【详解】解：如图所示，取A点关于直线a的对称点G，连接BG与直线a交于点E，点E即为所求，故选C．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称最短路径的相关知识．2．一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．【详解】由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；故选：A．【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．3．如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．【详解】解：∵点关于、的对称点，，∴，，∴△PMN的周长，∵∴△PMN的周长为．故选：．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．4．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（

）A．27° B．59° C．69° D．79°【答案】D【分析】由折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，由三角形内角和定理得∠3＋∠C＝106°，在△ABC中，由三角形内角和定理得∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，得出∠3＝27°，即可得出结果．【详解】解：如图所示：∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，∴∠3＋∠C＝180°−74°＝106°，在△ABC中，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴20°＋2∠3＋106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠C＝106°-∠3＝79°．故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．二、填空题：5．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．【答案】3或6【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得，∴CD′＝10−6＝4，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8−x)2，解得x＝3，即DE＝3；综上所述：DE的长为3或6；故答案为：3或6．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．6．如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为______．【答案】【分析】作关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为．【详解】解：如图1所示，作关于的对称点，连接，，则，，，，，，，是的中点，，，，当，，，在同一直线上时，如图2所示，的最小值等于的长，，，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称—线路最短问题，一般涉及到最短距离的问题，要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__°若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝________°【答案】

76

6【分析】（1）由A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，可得∠2＝83°，由∠1＝∠2得∠1＝83°，从而求出∠AA1A2＝14°，即可求出∠A＝76°；（2）根据题意可知光线原路返回，最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出2∠1＝180°－14°×n，根据外角的性质，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，当n＝11时，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值．【详解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；（2）当MN⊥OA时，光线沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上规律可知，∠A＝90°－2n•7°，当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．8．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕到的距离记为，若，则的值为______．【答案】【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE//

BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律：同理…于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1

En-1到BC的距离，据此求得的值．【详解】解：如图连接AA₁,由折叠的性质可得：AA₁⊥DE,DA=

DA₁

,A₂、A₃…均在AA₁上又∵

D是AB中点，∴DA=

DB

,

∵DB=

DA₁

,∴∠BA₁D=∠B

,∴∠ADA₁=∠B+∠BA₁D=2∠B,又∵∠ADA₁

=2∠ADE

,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA₁⊥BC

,∵h₁=1∴AA₁

=2,∴同理：；；…∴经过n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离∴【点睛】本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．三、解答题：9．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD与BE交于O点，求∠EOC的度数【答案】100°【分析】根据题意可得，∠1：∠2：∠3＝13：3：2，且，则∠1＝130°，∠3＝20°，根据折叠的性质，翻折变换的特点即可求解．【详解】解：如图，AE与DC交于点P，∵∠1：∠2：∠3＝13：3：2，且，∴∠1＝130°，∠3＝20°，∴由翻折可得∠DCA=∠3＝20°，∠EAB=∠1＝130°，∵∠P