数列的概念及其表示法“衡水杯”一等奖

数列第六章第1讲数列的概念及简单表示法【考纲导学】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．数列的概念(1)数列的定义：按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为__________的函数an＝f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．一定顺序项定义域2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数________无穷数列项数________按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1______an其中n∈N*递减数列an＋1______an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限>

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3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个式子__________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．序号n

an＝f(n)

S1

Sn－Sn－1

【答案】B【答案】C

3．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是__________．【答案】(－3，＋∞)

【解析】因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3．4．(教材习题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝__________．1

6

11

16

【答案】5n－45．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(

)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(

)(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(

)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(

)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)(6)在数列{an}中，对于任意正整数m，am＋1＝am＋1，若a1＝1，则a2＝2.(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√课堂考点突破2由数列的前几项求数列的通项公式

根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)4,6,8,10，…；【规律方法】根据所给数列的前几项求其通项时，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．需抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．由Sn与an的关系求an

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝__________．【答案】(1)B

(2)4n－5由递推关系求数列的通项公式形如an＋1＝anf(n)，求an

(1)(2015年江苏改编)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．形如an＋1＝an＋f(n)，求an

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an课后感悟提升31．(2016年浙江)数列{an}的前n